Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段HN長(zhǎng)度的最小值是_____．

Answer 1

【答案】1.25

【解析】

取CB的中點(diǎn)G，連接MG，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠HBN＝∠GBM，HB＝BG，MB＝NB，然后利用SAS即可證明△MBG≌△NBH，進(jìn)而可得HN＝MG，然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥CH時(shí)，MG最短，再根據(jù)∠BCH＝30°求解即可．

解：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接MG，

∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠MBH+∠HBN＝60°，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，

∵CH是等邊△ABC的對(duì)稱軸，∴HB＝AB，∴HB＝BG，

又∵MB旋轉(zhuǎn)到BN，∴BM＝BN，

∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG＝NH，

根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)MG⊥CH時(shí)，MG最短，即HN最短，

此時(shí)∵∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×5＝2.5，

∴MG＝CG＝×2.5＝1.25，∴HN＝1.25，

故答案為：1.25．