Question

如圖所示，OC是⊙O的半徑，A是圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)OC到點(diǎn)B，使OC=BC，且AC=BC，求證：AB為⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：由OC=BC=AC，加上OA=OC，可判斷△OAC為等邊三角形，則∠OAC=∠OCA=60°，由CA=CB得到∠CAB=∠B，利用三角形外角性質(zhì)得∠OCA=∠CAB+∠B，所以∠CAB=30°，于是∠OAB=∠OAC+∠CAB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AB為⊙O的切線．

解答：證明：∵OC=BC=AC，
而OA=OC，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC為等邊三角形，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
而CA=CB，
∴∠CAB=∠B，
∵∠OCA=∠CAB+∠B，
∴∠CAB=30°，
∴∠OAB=∠OAC+∠CAB=60°+30°=90°，
∴OA⊥AB，
∴AB為⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．