Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的一部分如圖所示．已知它的頂點M在第二象限，且經(jīng)過點A（1，0）和點B（0，1）．
（1）試求a，b所滿足的關(guān)系式；
（2）設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為C，當(dāng)△AMC的面積為△ABC面積的

5

4

倍時，求a的值；
（3）是否存在實數(shù)a，使得△ABC為直角三角形？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）將A（1，0），B（0，l）代入y=ax²+bx+c，
得：

a+b+c=0 c=1

，
可得：a+b=-1（2分）

（2）∵a+b=-1，
∴b=-a-1代入函數(shù)的解析式得到：y=ax²-（a+1）x+1，
頂點M的縱坐標為

4a-(a+1)2

4a

=-

(a-1)2

4a

，
因為S△AMC=

5

4

S△ABC，
由同底可知：-

(a-1)2

4a

=

5

4

×1，（3分）
整理得：a²+3a+1=0，
解得：a=

-3± 5

2

（4分）
由圖象可知：a＜0，
因為拋物線過點（0，1），頂點M在第二象限，其對稱軸x=

a+1

2a

＜0，
∴-1＜a＜0，
∴a=

-3- 5

2

舍去，
從而a=

-3+ 5

2

．（5分）

（3）①由圖可知，A為直角頂點不可能；（6分）
②若C為直角頂點，此時C點與原點O重合，不合題意；（7分）
③若設(shè)B為直角頂點，則可知AC²=AB²+BC²，
令y=0，可得：0=ax²-（a+1）x+1，
解得：x₁=1，x₂=

1

a

得：AC=1-

1

a

，BC=

12+ 1 a2

，AB=

2

．
則（1-

1

a

）²=（1+

1

a2

）+2，
解得：a=-1，由-1＜a＜0，不合題意．
所以不存在．（9分）
綜上所述：不存在．（10分）