Question

△ABC中，O為BC上一點，⊙O過A、C兩點交BC于D，BA為⊙O的切線．

（1）如圖1，若AD=1，AC=2，求tan∠BAD的值；
（2）如圖2，過B作BE⊥BC交CA的延長線于E，若AC：AE=2：3，求tan∠ABD的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),解直角三角形

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)OA，如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAB=90°，即∠BAD+∠OAD=90°，再根據(jù)圓周角定理，由CD為直徑得到∠CAO+∠OAD=90°，則∠BAD=∠CAO，加上∠CAO=∠ACO，所以∠BAD=∠ACO，在Rt△ADC中利用勾股定理計算出CD=

5

，然后根據(jù)正切的定義求解；
（2）作BF⊥AE于F，連結(jié)OA、AD，如圖2，設(shè)⊙O的半徑為r，先根據(jù)等角的余角相等得到∠E=∠BAE，而BF⊥AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AF=EF，由AC：AE=2：3得到AC：AF=4：3，再證明AD∥AC，利用比例線段得到BD=

3

2

r，則OB=

5

2

r，在Rt△ABO中，利用勾股定理得AB=

21

2

r，然后根據(jù)正切的定義求解．

解答：解：（1）連結(jié)OA，如圖1，
∵BA為⊙O的切線，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，即∠BAD+∠OAD=90°，
∵CD為直徑，
∴∠CAD=90°，即∠CAO+∠OAD=90°，
∴∠BAD=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠BAD=∠ACO，
在Rt△ADC中，∵AD=1，AC=2，
∴CD=

AD2+AC2

=

5

，
∴tan∠ACD=

AD

CD

=

1

5

=

5

5

，
∴tan∠BAD=

5

5

；
（2）作BF⊥AE于F，連結(jié)OA、AD，如圖2，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵BA為⊙O的切線，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∴∠BAE+∠OAC=90°，
而∠CAO=∠ACO，
∴∠BAE+∠ACO=90°，
∵BE⊥BC，
∴∠E+∠BCE=90°，
∴∠E=∠BAE，
而BF⊥AE，
∴AF=EF，
∵AC：AE=2：3，
∴AC：AF=4：3，
∵∠DAC=90°，
∴AD∥AC
∴

CD

BD

=

CA

AF

，即

2r

BD

=

4

3

，
∴BD=

3

2

r
∴OB=r+

3

2

r=

5

2

r，
在RT△ABO中，AB=

OB2-OA2

=

21

2

r，
∴tan∠ABO=

OA

AB

=

2 21

21

，
即tan∠ABD的值為

2 21

21

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了平行線分線段成比例定理和銳角三角函數(shù)．