Question

如圖，直線CD經(jīng)過(guò)線段AB的一個(gè)端點(diǎn)B，∠ABC=50°，點(diǎn)P為直線CD上一點(diǎn)；已知△PAB是以AB為底邊的等腰三角形，⊙O是以AB為直徑的圓．
（1）用圓規(guī)和直尺在圖中找出點(diǎn)P，并作出⊙O；
（2）用圓規(guī)和直尺過(guò)點(diǎn)P作出⊙O的一條切線；
（3）若將將條件“∠ABC=50°”改為“∠ABC=α（0°＜α＜90°）”討論當(dāng)α在不同范圍內(nèi)時(shí)過(guò)點(diǎn)P能作⊙O的切線的條數(shù)．（第（1）、（2）小題保留作圖痕跡，不必寫(xiě)作法和證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）由△PAB是以AB為底邊的等腰三角形，即PA=PB，故P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上；
（2）設(shè)過(guò)P點(diǎn)的直線與⊙O相切于E點(diǎn)，則∠POE=90°，故應(yīng)以O(shè)P為直徑作圓交⊙O于點(diǎn)E，連接PE即可；
（3）當(dāng)α=45°時(shí)，OP=OB，且PA=PB，故P點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn)P能作⊙O的1條切線，當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，P點(diǎn)在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P能作⊙O的0條切線，當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，P點(diǎn)在圓外，過(guò)點(diǎn)P能作⊙O的2條切線．
解答：解：（1）如圖，作AB的中垂線交直線CD于點(diǎn)P，
則點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)；

（2）以O(shè)P為直徑作圓交⊙O于點(diǎn)E，
則直線PE即是⊙O的一條切線；

（3）當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P能作⊙O的0條切線，
當(dāng)α=45°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P能作⊙O的1條切線，
當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P能作⊙O的2條切線．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的畫(huà)法．關(guān)鍵是明確P點(diǎn)的位置，以O(shè)P為直徑畫(huà)圓，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，達(dá)到判斷切線的目的．