Question

3．如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上（AC＞BD），△PCD是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，且∠APB=120°，若AB=19，則AC=9．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PC=CD=PD=6，∠PCD=∠PDC=60°，得出∠ACP=∠PDB=120°，證出∠APC=∠B，得出△ACP∽△PDB，因此AC：PD=PC：BD，AC•BD=PD•PC=36，設(shè)AC=x，則BD=AB-AC-CD=13-x，得出方程，解方程即可．

解答 解：∵△PCD是等邊三角形，
∴PC=CD=PD=6，∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∴∠A+∠APC=60°，
∵∠APB=120°，
∴∠A+∠B=60°，
∴∠APC=∠B，
∴△ACP∽△PDB，
∴AC：PD=PC：BD，
∴AC•BD=PD•PC=36，
設(shè)AC=x，則BD=AB-AC-CD=13-x，
∴x（13-x）=36，
解得：x=9，或x=4（舍去），
∴AC=9；
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 該題考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用等幾何知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．