Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．

（1）用t的代數(shù)式表示：AE=　 　；DF=　 　；

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）2t，2t；（2）當(dāng)t=10時(shí)，AEFD是菱形；（3）當(dāng)t=s或12s時(shí)，△DEF是直角三角形．

【解析】試題分析：

（1）由已知易得∠C=30°，∠DFC=90°，這樣結(jié)合已知條件即可得到：DF=CD=2t，AE=2t；

（2）由（1）可知，AE=DF，結(jié)合AE∥DF可得四邊形AEFD是平行四邊形，由此可得當(dāng)AD=AE，即60-4t=2t時(shí)，四邊形AEFD是菱形，解此關(guān)于t的方程即可求得對(duì)應(yīng)的t的值；

（3）如圖1和圖2，根據(jù)題意分∠EDF=90°和∠DEF=90°兩種情況結(jié)合已知條件分析、計(jì)算即可得到對(duì)應(yīng)的t的值.

試題解析：

（1）∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在直角△CDF中，∠C=30°，

∴DF=CD=2t，

故答案為：2t，2t；

（2）∵DF⊥BC

∴∠CFD=90°

∵∠B=90°

∴∠B=∠CFD

∴DF∥AB，

由（1）得：DF=AE=2t，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，

即60﹣4t=2t，

解得：t=10，

即當(dāng)t=10時(shí)，AEFD是菱形；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，如圖1，DE∥BC．

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t，

∴DF=2t=AE，

∴AD=4t，

∴4t=60﹣4t，

∴t=

②當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，如圖2，DE⊥EF，

∵四邊形AEFD是平行四邊形，

∴AD∥EF，

∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，

∵∠A=60°，

∴∠DEA=30°，

∴AD=AE，

∴60﹣4t=t，

解得t=12．

綜上所述，當(dāng)t=s或12s時(shí)，△DEF是直角三角形．