Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，EF為△ABC的中位線，點G為EF的中點，連接BG，CG．
（1）求證：BG=CG；
（2）當∠BGC=90°時，過點B作BD⊥AC，交GC于H，連接HF，求證：BH=FH+CF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ABC=∠ACB，有中位線定理和點G為EF的中點可證明△BEG≌△CFG，從而得出結論；
（2）延長BG交AC于M，根據(jù)題意可證明△BGH≌CGM，得出BH=CM，GH=GM，還可證明△GMF≌△GHF，則MF=HF，即可證明BH=FH+CF．

解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵EF為中位線，
∴BE=

1

2

AB=CF，EF∥BC，
∴∠1+∠ABC=∠EFC+∠ACB=180°，
∴∠1=∠EFC，
又∵G為EF的中點，
∴EG=GF，
∴在△BEG和△CFG中，

BE=CF ∠1=∠EFC EG=FG

∴△BEG≌△CFG，
∴BG=CG；
（2）延長BG交AC于M，
∵∠BGC=90°，BD⊥AC，
∴∠2=90°-∠GHB=90°-∠DHC=∠3，
在△BGH和CGM中，

∠BGH=∠CGM=90° BG=CG ∠2=∠3

∴△BGH≌CGM，
∴BH=CM，GH=GM
又∵EF∥BC，
∴∠4=∠GCB=45°，
∴∠5=90°-∠4=45°=∠4
在△GMF和△GHF中

GM=GH ∠5=∠4 GF=FG

，
∴△GMF≌△GHF，
∴MF=HF，
∴BH=CM=MF+FC=FH+FC．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線定理，是中考常見題型，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．