Question

已知：直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C為x軸上一點(diǎn)，AC=1，且OC＜OA．拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，當(dāng)銳角∠PDO的正切值為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，該拋物線上的一點(diǎn)E在x軸下方，當(dāng)△ADE的面積等于四邊形APCE的面積時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）；（2）P（1，2）；（3）

試題分析：（1）先求得直線交x軸、y軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)A、B、C在拋物線上，即可求得結(jié)果；
（2）由銳角∠PDO的正切值為，得，即可證得△ABO∽△ADP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AP的長，過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，可證PF∥BO，即可證得，從而求得結(jié)果；
（3）設(shè)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為m（m＜0），根據(jù)三角形的面積公式可得，即可得到，由即可列方程求解.
（1）易得：A（2，0），B（0，4）
∵AC=1且OC＜OA 
∴點(diǎn)C在線段OA上
∴C（1，0）
∵A（2，0），B（0，4），C（1，0）在拋物線上，
∴，解得      
∴所求拋物線的表達(dá)式為；
（2）∵銳角∠PDO的正切值為，（為銳角）
∴，　
∵點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，
∴
∴△ABO∽△ADP
∴， 
又AO=2，AB=，AD=5
∴
過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，可證PF∥BO，
∴
可得PF=2，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2.
∴可得P（1，2）；
（3）設(shè)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為m（m＜0）， 
∴
∵P（1，2），
∴
由得，解得 
∴點(diǎn)E ．
點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．