Question

如圖，拋物線經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C在y軸上，且BC∥x軸．
（1）求a的值；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）探究：
①若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAC周長的最小值；
②若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸且在直線BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使△PAB是等腰三角形．若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）將點(diǎn)A（-1，0）代入拋物線，
得：，
解得；

（2）△ABC是等腰三角形，
令x=0，則，
∴點(diǎn)C（0，），
∴在Rt△AOC中，AC==2，
由對(duì)稱性可得點(diǎn)B（2，），
∴BC=2，
∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形；

（3）①由于點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
所以取直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P時(shí)，
△PAC周長的最小，△PAC周長=AC+AB=，
②當(dāng)PA=AB時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為，
當(dāng)PB=AB時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為，
當(dāng)PA=PB時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0）．
分析：（1）本題需先把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可得出a的值；
（2）本題需先根據(jù)x=0，得出AC=2，再根據(jù)對(duì)稱性可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出BC的值，從而證出AC=BC，即可得出△ABC是等腰三角形；
（3）①本題須先根據(jù)題意得出直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P時(shí)，△PAC周長的最小，再求出AC+AB的值即可；
②本題需分當(dāng)PA=AB時(shí)，當(dāng)PB=AB時(shí)，當(dāng)PA=PB時(shí)三種情況進(jìn)行討論即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，在解題時(shí)要能靈活應(yīng)用二次函數(shù)和等腰三角形的有關(guān)知識(shí)和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．