Question

16．如圖，點E是正方形ABCD外一點，BE=3，CE=$\sqrt{6}$，在正方形ABCD內(nèi)取一點F，△ABF≌△CBE，點E的對應(yīng)點是F，點C的對應(yīng)點是A，連結(jié)CF，且CF=2$\sqrt{6}$．
（1）∠BFC為75°；
（2）△BFC的面積為$\frac{9+3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，△EBE′是直角三角形，進(jìn)而得出∠BEE′=∠BE′E=45°，再求出∠CFE=30°，即可得出答案．
（2）先求出sin75°=sin（45°+30°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，由三角形的面積公式△BFC的面積=$\frac{1}{2}$BF×CF×sin75°，代入計算即可．

解答 解：（1）連接EF，如圖所示：
∵△ABF≌△CBE，
∴△ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBF，BF=BE=3，∠AFB=∠BEC，
∴∠EBF=90°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，EF²=BF²+BE²=18，
∵AF=CE=$\sqrt{6}$，CF=2$\sqrt{6}$，
∴CF²=CE²+EF²，
∴△EFC是直角三角形，
∴∠FEC=90°，
∵CE=$\sqrt{6}$，CF=2$\sqrt{6}$，
∴CE=$\frac{1}{2}$CF，
∴∠CFE=30°，
∴∠BFC=∠BFE+∠CFE=75°；
故答案為：75；
（2）∵sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴△BFC的面積=$\frac{1}{2}$BF×CF×sin75°=$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9+3\sqrt{2}}{2}$；
故答案為：$\frac{9+3\sqrt{2}}{4}$．

點評 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．