Question

19．在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“友好距離”，給出如下定義：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點P₁（x₁，y₁）與點P₂（x₂，y₂）的“友好距離”為|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，則P₁（x₁，y₁）與點P₂（x₂，y₂）的“友好距離”為|y₁-y₂|；
（1）已知點A（-$\frac{3}{2}$，0），B為y軸上的動點，
①若點A與B的“友好距離為”3，寫出滿足條件的B點的坐標：（0，3）或（0，-3）．
②直接寫出點A與點B的“友好距離”的最小值$\frac{3}{2}$．
（2）已知C點坐標為C（m，$\frac{2}{3}$m+3）（m＜0），D（0，1），求點C與D的“友好距離”的最小值及相應(yīng)的C點坐標．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)點B位于y軸上，可以設(shè)點B的坐標為（0，y）．由“友好距離”的定義可以確定|0-y|=3，據(jù)此可以求得y的值；
②設(shè)點B的坐標為（0，y）．因為|-$\frac{3}{2}$-0|≥|0-y|，所以點A與點B的“友好距離”最小值為$\frac{3}{2}$；
（2）求點C與點D的“友好距離”的最小值時，需要根據(jù)運算定義“若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則P₁與P₂的“友好距離”為|x₁-x₂|”，此時|x₁-x₂|=|y₁-y₂|，即|m|=|$\frac{2}{3}$m+2|，解方程得m的值即可．

解答 解：（1）①∵B為y軸上的一個動點，
∴設(shè)點B的坐標為（0，y）．
∵|-$\frac{3}{2}$-0|=$\frac{3}{2}$≠3，
∴|0-y|=3，
解得，y=3或y=-3；
∴點B的坐標是（0，3）或（0，-3）；
故填寫：（0，3）或（0，-3）．
②根據(jù)題意，得：|-$\frac{3}{2}$-0|≥|0-y|，
即|y|≤$\frac{3}{2}$，
∴點A與點B的“友好距離”的最小值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$；


（2）∵C（m，$\frac{2}{3}$m+3），D（0，1），
∴|m|=|$\frac{2}{3}$m+2|，
∵m＜0，
當(dāng)m≤-3時，m=$\frac{2}{3}$m+2，解得m=6，（舍去）；
當(dāng)-3＜m＜0時，-m=$\frac{2}{3}$m+2，解得m=-$\frac{6}{5}$，
∴點C與點D的“友好距離”的最小值為：|m|=$\frac{6}{5}$，
此時C（-$\frac{6}{5}$，$\frac{11}{5}$）．

點評 本題主要考查圖形與坐標的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要弄清楚題干中的已知條件及本題中的“友好距離”的定義．