【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B.點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線分別交拋物線和直線AB于點(diǎn)E和點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 .
(2)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.
(3)點(diǎn)P在線段OA上時(shí),若以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△FPA相似,求m的值.
(4)若E、F、P三個(gè)點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外),稱E、F、P三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”.直接寫出E、F、P三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值.
【答案】(1)(4,0)(2)y=﹣x2+x+2(3),(4)﹣1或﹣或
【解析】
(1)令y=0,即可求出交點(diǎn)坐標(biāo),
(2)將A(4,0),B(0,2)代入y=﹣x2+bx+c中,即可求出函數(shù)解析式,(3)根據(jù)分類討論,得得,即可求解,(4)根據(jù)當(dāng)F為線段PE的中點(diǎn)時(shí),當(dāng)P為線段FE的中點(diǎn)時(shí),當(dāng)E為線段FP的中點(diǎn)時(shí)分類討論解題即可.
(1)在y=-x+2中,令y=0,則x=4,
∴A(4,0);
故答案為:(4,0);
(2)∵在y=-x+2中,令x=0,則y=2,
∴B(0,2),
把A(4,0),B(0,2)代入y=﹣x2+bx+c,得b=,
∴這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+x+2;
(3)∵P(m,0),E(m,﹣m2+m+2),F(xiàn)(m,﹣m+2),
∵且∠BFE=∠AEP,
∴∠BEP=∠APF=90°或∠EBF=∠APF=90°,
則有BE⊥PE,
∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,
∴解得m=0(舍去)或m=,
如圖1,過點(diǎn)E作EC⊥y軸于點(diǎn)C,
則∠EBC+∠BEC=90°,EC=m,BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m,
∵∠EBF=90°,
∴∠EBC+∠ABO=90°,
∴∠ABO=∠BEC,
∴Rt△ECB∽R(shí)t△BOA,
∴,
∴,解得m=0(舍去)或m=,
解得,m=,
綜上所述,以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△FPA相似,m的值=,
(4)由(1)知,P(m,0),E(m,﹣m2+m+2),F(xiàn)(m,﹣m+2),
∵E、F、P三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”,
∴有F為線段PE的中點(diǎn)、P為線段FE的中點(diǎn)或E為線段PF的中點(diǎn),
當(dāng)F為線段PE的中點(diǎn)時(shí),則有2(﹣m+2)=﹣m2+m+2,解得m=4(三點(diǎn)重合,舍去)或m=;
當(dāng)P為線段FE的中點(diǎn)時(shí),則有﹣m+2+(﹣m2+m+2)=0,解得m=4(舍去)或m=﹣1;
當(dāng)E為線段FP的中點(diǎn)時(shí),則有﹣m+2=2(﹣m2+m+2),解得m=4(舍去)或m=﹣;
綜上可知當(dāng)E、F、P三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值為﹣1或﹣或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將2019個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形按如圖所示的方式排列,點(diǎn)A,A1,A2,A3,……A2019和點(diǎn)M,M1,M2……,M2018是正方形的頂點(diǎn),連接A1M,A2M1,A3M2,……A2018分別交正方形的邊A1M,A2M1,A3M2,……A2018M2017于點(diǎn)N1,N2,N3……N2018,四邊形M1N1A1A2的面積是,四邊形M2N2A2A3的面積是,…,則為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)了圓周角的概念和性質(zhì):“頂點(diǎn)在圓上,兩邊與圓相交”,“同弧所對(duì)的圓周角相等”,小明在課后繼續(xù)對(duì)圓外角和圓內(nèi)角進(jìn)行了探究.
下面是他的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
定義概念:頂點(diǎn)在圓外,兩邊與圓相交的角叫做圓外角,頂點(diǎn)在圓內(nèi),兩邊與圓相交的角叫做圓內(nèi)角.如圖1,∠M為所對(duì)的一個(gè)圓外角.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出所對(duì)的一個(gè)圓內(nèi)角;
提出猜想
(2)通過多次畫圖、測(cè)量,獲得了兩個(gè)猜想:一條弧所對(duì)的圓外角______這條弧所對(duì)的圓周角;一條弧所對(duì)的圓內(nèi)角______這條弧所對(duì)的圓周角;(填“大于”、“等于”或“小于”)
推理證明:
(3)利用圖1或圖2,在以上兩個(gè)猜想中任選一個(gè)進(jìn)行證明;
問題解決
經(jīng)過證明后,上述兩個(gè)猜想都是正確的,繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn),還可以解決下面的問題.
(4)如圖3,F,H是∠CDE的邊DC上兩點(diǎn),在邊DE上找一點(diǎn)P使得∠FPH最大.請(qǐng)簡(jiǎn)述如何確定點(diǎn)P的位置.(寫出思路即可,不要求寫出作法和畫圖)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲車從A地駛往B地,同時(shí)乙車從B地駛往A地,兩車相向而行,勻速行駛,甲車距B地的距離y(km)與行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,乙車的速度是60km/h.
(1)求甲車的速度;
(2)當(dāng)甲乙兩車相遇后,乙車速度變?yōu)閍(km/h),并保持勻速行駛,甲車速度保持不變,結(jié)果乙車比甲車晚38分鐘到達(dá)終點(diǎn),求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)P在⊙O上,弦PB與CD交于點(diǎn)F,且FC=FB.
(1)求證:PD∥CB;
(2)若AB=26,EB=8,求CD的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一垂直于地面的燈柱AB被一鋼筋CD固定,CD與地面成45°夾角(∠CDB=45°),在C點(diǎn)上方2米處加固另一條鋼線ED,ED與地面成53°夾角(∠EDB=53°),那么鋼線ED的長(zhǎng)度約為多少米?(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】作出反比例函數(shù)y=-的圖象,并結(jié)合圖象回答:(1)當(dāng)x=2時(shí),y的值;(2)當(dāng)1<x≤4時(shí),y的取值范圍;(3)當(dāng)1≤y<4時(shí),x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是置于水平地面上的一個(gè)球形儲(chǔ)油罐,小敏想測(cè)量它的半徑、在陽(yáng)光下,他測(cè)得球的影子的最遠(yuǎn)點(diǎn)A到球罐與地面接觸點(diǎn)B的距離是10米(如示意圖,AB=10米);同一時(shí)刻,他又測(cè)得豎直立在地面上長(zhǎng)為1米的竹竿的影子長(zhǎng)為2米,那么,球的半徑是________米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,∠DAB=∠B,點(diǎn)E在邊AC上,滿足AE·CD=AD·CE.
(1)求證:DE∥AB;
(2)如果點(diǎn)F是DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且BD是DF和AB的比例中項(xiàng),連接AF.求證:DF=AF.
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