Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且OC=OB．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）連接AC，H是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)H作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F．是否存在這樣的點(diǎn)F，使得以A，C，H，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴c=3，C（0，3），

將A（1，0）、B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3中，

得： ，解得： ．

∴所求拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3．

（2）

解：如圖1，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，

設(shè)E（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），

∴EF=﹣m2﹣2m+3，BF=m+3，OF=﹣m，

∴S四邊形BOCE= BFEF+ （OC+EF）OF，

= （m+3）（﹣m2﹣2m+3）+ （﹣m2﹣2m+3+3）（﹣a），

=﹣ m2﹣ m+ ，

=﹣ + ．

∵a=﹣ ＜0，

∴當(dāng)m=﹣ 時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為 ，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣ ， ）．

（3）

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，n），如圖2，過A1作A1N⊥對稱軸于N，設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)M．

①當(dāng)n＞0時(shí)，∵∠NP1A1+∠MP1A=∠NA1P1+∠NP1A1=90°，

∴∠NA1P1=∠MP1A，

在△A1NP1與△P1MA中， ，

∴△A1NP1≌△P1MA（AAS），

∴A1N=P1M=n，P1N=AM=2，

∴A1（n﹣1，n+2），

將A1（n﹣1，n+2）代入y=﹣x2﹣2x+3得：n+2=﹣（x﹣1）2﹣2（n﹣1）+3，

解得：n=1，n=﹣2（舍去），

此時(shí)P1（﹣1，1）；

②當(dāng)n＜0時(shí)，要使P2A=P2A2，由圖可知A2點(diǎn)與B點(diǎn)重合，

∵∠AP2A2=90°，

∴MP2=MA=2，

∴P2（﹣1，﹣2），

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．

（4）

解：假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，0），

以A，C，H，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形分兩種情況（如圖3）：

①當(dāng)點(diǎn)H在x軸上方時(shí)，

∵A（1，0），C（0，3），F(xiàn)（t，0），

∴H（t﹣1，3），

∵點(diǎn)H在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，

∴3=﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3，

解得：t1=﹣1，t2=1（舍去），

此時(shí)F（﹣1，0）；

②當(dāng)點(diǎn)H在x軸下方時(shí)，

∵A（1，0），C（0，3），F(xiàn)（t，0），

∴H（t+1，﹣3），

∵點(diǎn)H在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，

∴﹣3=﹣1（t+1）2﹣2（t+1）+3，

解得：t3=﹣2﹣ ，t4=﹣2+ ，

此時(shí)F（﹣2﹣ ，0）或（﹣2+ ，0）．

綜上可知：存在這樣的點(diǎn)F，使得以A，C，H，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，0）、（﹣2﹣ ，0）或（﹣2+ ，0）．

【解析】（1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知OB的長，根據(jù)OC=OB，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及c，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），結(jié)合B、O、C點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出BF、OF、OC、EF的長，利用分割圖形求面積法即可找出S四邊形BOCE關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，n），過A1作A1N⊥對稱軸于N，設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)M．分n＞0和n＜0考慮：①當(dāng)n＞0時(shí)，利用相等的邊角關(guān)系即可證出△A1NP1≌△P1MA（AAS），由此即可得出點(diǎn)A1的坐標(biāo)，將其代入二次函數(shù)解析式中即可求出n值，由此即可得出點(diǎn)P1的坐標(biāo)；②當(dāng)n＜0時(shí)，結(jié)合圖形找出點(diǎn)A2的位置，由此即可得出點(diǎn)P2的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論；（4）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，0），分點(diǎn)H在x軸上方和下方兩種情況考慮，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合A、C、F點(diǎn)的坐標(biāo)即可表示出點(diǎn)H的坐標(biāo)，將其代入二次函數(shù)解析式中即可求出t值，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．