Question

17．如圖①，△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)P．
（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度數(shù)；
（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．
（3）如圖③，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠1+∠2，進(jìn)而求出∠BPC即可解決問(wèn)題；
（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q=90°-$\frac{1}{2}$∠A，求出∠E=$\frac{1}{2}$∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分別列出方程，求解即可．

解答 解：（1）如圖①，
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠BPC=180°-（∠1+∠2）=180°-50°=130°．

（2）如圖②，
∵∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCN=∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠BCN=∠A+∠ABC+∠ACB+∠A=180°+∠A．
∵BE，CQ分別為△ABC的外角∠MBC，∠NCB的角平分線，
∴∠CBQ+∠BCQ=$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
∴∠Q=180°-（∠CBQ+∠BCQ）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

（3）如圖③，連結(jié)BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)F．
∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=$\frac{1}{2}$∠A；
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠MBC
=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠A+∠ACB）=90°．
如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：
①∠EBQ=2∠E=90°，則∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，則∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，則90°-$\frac{1}{2}$∠A=∠A，解得∠A=60°；
④∠E=2∠Q，則$\frac{1}{2}$∠A=2（90°-$\frac{1}{2}$∠A），解得∠A=120°．
綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)；靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．