Question

9．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點O為坐標(biāo)原點，直線y=$\frac{1}{2}$x+3交x軸于點A，交y軸于點B，點C在x軸正半軸上，△ABC的面積為15．

（1）求直線BC的解析式；
（2）橫坐標(biāo)為t的點P在直線AB上，設(shè)d=OP²，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（不必寫出自變量取值范圍）
（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠BPO=$\frac{1}{2}$∠BCA時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先求出點A，B坐標(biāo)，用△ABC的面積為15，求出點C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線BC解析式；
（2）在Rt△OPD中，有OP²=OD²+PD²，代入化簡 得d=$\frac{5}{4}$t²+3t+9，
（3）先判斷出∠EBA=∠OBA，再分兩種情況，①點P在第一象限，用PD=OD建立方程求出t，②當(dāng)點P位于如圖2所示P₁位置時，用P₁O=PO，建立方程求解即可．

解答 解：直線y=$\frac{1}{2}$x+3交x軸于點A，交y軸于點B，
當(dāng)x=0時y=3，當(dāng)y=0時，x=-6，
∴A（-6，0）B（0，3），
∴OA=6，OB=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×OB=$\frac{1}{2}$（OA+OC）×OB．
∴15=$\frac{1}{2}$（6+OC）×3
∴OC=4，
∴C（4，0），
設(shè)直線BC的解析式為 y=kx+b，
則：$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$
∴k=$\frac{3}{4}$
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3．
（2）橫坐標(biāo)為t的點P在直線AB上，
∴P（t，$\frac{1}{2}$t+3）
過點P作x軸的垂線，點D為垂足，如圖1，

∴D（t，0）
在Rt△OPD中，有OP²=OD²+PD²
∴d=t²+（$\frac{1}{2}$t+3）²=$\frac{5}{4}$t²+3t+9，
（3）在在Rt△OBC內(nèi)有BC²=OB²+OC²
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5
過點A作BC的垂線，點E為垂足，如圖2

S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE=15，
∴AE=6
∴AO=AE，
∵∠AEB=∠AOB=90°
∴∠EBA=∠OBA     
當(dāng)點P位于第一象限時，
∠BOP=∠ABO-∠APO=$\frac{1}{2}$∠EBO-$\frac{1}{2}$∠BCO=$\frac{1}{2}$（∠EBO-∠BCO）=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°  
∴∠POD=∠PDO=45°，
∴PD=OD，
∴$\frac{1}{2}$t+3=t，
∴t=6     
當(dāng)點P位于如圖2所示P₁位置時，
∠BP₁O=$\frac{1}{2}$∠BCA=∠BPO
∴P₁O=PO，
∴P₁O²=PO²，
∴$\frac{5}{4}$t²+3t+9=$\frac{5}{4}$×6²+3×6+9，
解得：t=-$\frac{42}{5}$或t=6（舍去）
綜上所述：當(dāng)∠BPO=$\frac{1}{2}$∠BCA時t的值為6或-$\frac{42}{5}$．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了三角形的面積公式，待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出∠EBA=∠OBA，用方程的思想解決問題是解本題的難點．