Question

19．如圖，在正方形ADCE中，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，DF交CE的延長(zhǎng)線于B點(diǎn)，CM∥AN，交DF于M，N．
（1）求證：△CDM∽△AFN；
（2）若$\frac{FM}{DN}$=$\frac{2}{7}$，求$\frac{AM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ADCE是正方形，得到AE∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFN=∠CDM，∠ANM=∠CMD，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AF}{CD}=\frac{FN}{DM}$設(shè)FM=2x，DN=7x，于是得到$\frac{AF}{AE}=\frac{2x+MN}{7x+MN}=\frac{1}{2}$，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=BF=12x，求得DM=10x，BM=14x，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ADCE是正方形，
∴AE∥CD，
∴∠AFN=∠CDM，
∵AN∥CM，
∴∠ANM=∠CMD，
∴△CDM∽△AFN；

（2）解：∵△CDM∽△AFN，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{FN}{DM}$，∵$\frac{FM}{DN}$=$\frac{2}{7}$，
∴設(shè)FM=2x，DN=7x，
∵AE=CD，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{2x+MN}{7x+MN}=\frac{1}{2}$，
∴MN=3x，
在△ADF與△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠FEB=90°}\\{AF=EF}\\{∠AFD=∠EFB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BEF，
∴DF=BF=12x，∴DM=10x，BM=14x，
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△BMG，
∴$\frac{AM}{MG}=\frac{DM}{BM}$=$\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．