Question

已知：如圖，正方形ABCD中，點E在BC的延長線上，AE分別交DC，BD于F，G，點H為EF的中點．
求證：（1）∠DAG=∠DCG；
（2）GC⊥CH．

Answer 1

證明：（1）∵ABCD為正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
又DG=DG，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠DCG；

（2）∵ABCD為正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAG=∠E，又∠DAG=∠DCG，
∴∠E=∠DCG，
∵H為直角三角形CEF斜邊EF邊的中點，
∴CH=HE=EF，
∴∠HCE=∠E，
∴∠DCG=∠HCE，
又∠FCH+∠HCE=90°，
∴∠FCH+∠DCG=90°，即∠GCH=90°，
∴GC⊥CH．
分析：（1）要證明∠DAG=∠DCG，需把兩角放到兩三角形中，證明兩三角形△ADG與△CDG全等得到，全等的方法是：由ABCD為正方形，得到AD與DC相等，∠ADB與∠CDB相等，再加上公共邊DG，利用“SAS”得到全等，利用全等三角形的對應角相等得證；
（2）要證明GC與CH垂直，需證∠GCH=90°，即∠FCH+∠DCG=90°，方法是：由正方形的對邊AD與BE平行，根據兩直線平行，內錯角相等得到∠DAF與∠E相等，由（1）得到的∠DAG與∠DCG相等，等量代換得到∠E與∠DCG相等，再由CH為直角三角形ECF斜邊上的中線，得到CH與HE相等都等于斜邊EF的一半，根據“等邊對等角”得到∠E與∠HCE相等，又∠FCH+∠DCG等于90°，等量代換得到∠FCH+∠DCG=90°，即∠GCH=90°，得證．
點評：此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質，是一道證明題．要求學生熟練掌握正方形的性質：四條邊都相等，四個角相等都為直角，對角線互相垂直且平分，一條對角線平分一組對角，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．