【題目】如圖1,ABC為等腰直角三角形,ACB=90,FAC邊上的一個動點(FA. C不重合),以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF,連接BF、AD.

(1)猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系,直接寫出結(jié)論;

(2)將圖1中的正方形CDEF,繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度α,得到如圖2的情形。圖2BFAC于點H,交AD于點O,請你判斷(1)中得到的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷。

(3)將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC,ACB=90,正方形CDEF改為矩形CDEF,如圖3,AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BFAC于點H,AD于點O,連接BD、AF,BD2+AF2的值。

【答案】(1) BF=AD,BF⊥AD;(2) BF=AD,BF⊥AD仍然成立,理由見解析;(3).

【解析】分析:(1)可由SAS證得BCF≌△ACD得到BFAD,BFAD;(2)(1)中的方法相同;(3)BCF∽△ACDBOAD,再利用勾股定理求解.

詳解:(1)BFADBFAD;

(2)BFADBFAD仍然成立,

證明:∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90,∴ACBC,

∵四邊形CDEF是正方形,∴CDCF,∠FCD=90,

∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,即∠BCF=∠ACD,

在△BCF和△ACD

BCAC,BCF=∠ACDCFCD,

∴△BCF≌△ACD(SAS),∴BFAD,∠CBF=∠CAD,

又∵∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90

∴∠CAD+∠AHO=90,∴∠AOH=90

BFAD;

(3)證明:連接DF,

∵四邊形CDEF是矩形,∴∠FCD=90,

又∵∠ACB=90,∴∠ACB=∠FCD

∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,即∠BCF=∠ACD

AC=4,BC=3,CD,CF=1,∴BC:ACCF:CD=3:4,

∴△BCF∽△ACD,∴∠CBF=∠CAD

又∵∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90

∴∠CAD+∠AHO=90,∴∠AOH=90,∴BFAD,

∴∠BOD=∠AOB=90

BD2OB2OD2,AF2OA2OF2,AB2OA2OB2,DF2OF2OD2,

BD2AF2OB2OD2OA2OF2AB2DF2,

∵在RtABC,∠ACB=90,AC=4,BC=3,

AB2AC2BC2=32+42=25,

∵在RtFCD,∠FCD=90,CD,CF=1,

DF2CD2CF2=()2+12,

BD2AF2AB2DF2=25+.

練習冊系列答案
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B型車

進貨價格(元)

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根據(jù)以上信息,解決以下問題:

請分別確定時該產(chǎn)品的日銷量與時間之間的函數(shù)關(guān)系式;

請預測未來第一月日銷量利潤的最小值是多少?第二個月日銷量利潤的最大值是多少?

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的關(guān)系為 ,

的關(guān)系為

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①若,則 .

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