Question

【題目】如圖1，筆直的公路上有A、B兩個(gè)站點(diǎn)相距40km，在公路的同側(cè)有C、D兩個(gè)村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，且DA=20km，CB=10km，現(xiàn)政府決定在A、B之間建一個(gè)土特產(chǎn)加工基地E．

（1）若要使土特產(chǎn)加工基地E點(diǎn)到C、D兩村的距離相等，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖1中作出點(diǎn)E；

（2）在（1）的條件下求出基地E到A站的距離；

（3）若要使土特產(chǎn)加工基地E點(diǎn)到C、D兩村的距離和（即DE +EC）最小，求出此最小的距離和．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）50km

【解析】

（1）連接CD作CD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E；

（2）連接DE、CE，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DE=CE，再根據(jù)勾股定理建立等式求出AE；

（3）作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接C，交AB于點(diǎn)E，(DE+CE)的最小值即為(E+EC)的值，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)，使B=A=AD=20km，則四邊形AB是矩形，

利用勾股定理求出答案即可.

解：(1)如圖

(2)連接DE、CE，

，

∴DE=CE，

，

∴,

∴,

∴AE=；

(3)作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接C，交AB于點(diǎn)E，(DE+CE)的最小值即為(E+EC)的值，

延長(zhǎng)CB至點(diǎn)，使B=A=AD=20km，則四邊形AB是矩形，

∴=AB=40km，

∵BC=10km，

∴C=30km，

∴E+EC= C==50km.