Question

【題目】已知，如圖①，在ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速移動(dòng)，速度為1cm/s，當(dāng)△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)，如圖②，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），連接PQ，MQ，MC，解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥MN？

（2）設(shè)△QMC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S△QMC：S四邊形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

（4）是否存在某一時(shí)刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】t=；y=－；1:4；t=

【解析】試題分析： 當(dāng)PQ∥MN時(shí)，可得： ，從而得到： ，解方程求出的值；

作于點(diǎn)，則可以得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以求出， ，利用三角形的面積公式求出與的關(guān)系式；

根據(jù)S△QMC: 可以得到關(guān)于的方程，解方程求出的值；

作于點(diǎn)， 于點(diǎn)，則△CPD∽△CBA，利用相似三角形的性質(zhì)可以得到： ，解方程求出的值.

試題解析：(1)如圖所示，

若PQ∥MN，則有，

∵， ， ，

∴，

即，

解得.

(2)如圖所示，

作于點(diǎn)，則△CPD∽△CBA，

∴,

∵， ， ，

∴，

∴

又∵，

∴△QMC的面積為：

(3)存在時(shí)，使得S△QMC: .

理由如下：

∵PM∥BC

∴

∵S△QMC: ，

∴S△PQC: S△ABC=1:5，

∵

.∴

∴

∴

∴存在當(dāng)時(shí)，S△QMC: ；

(4)存在某一時(shí)刻，使.

理由如下：

如圖所示，

作于點(diǎn)， 于點(diǎn)，則△CPD∽△CBA，

∴,

∵， ， ， ，

∴，

∴， .

∵PQ⊥MQ，

∴△PDQ∽△QEM，

∴，

即

∵，

，

，

∴，

即，

∴， （舍去）

∴當(dāng)時(shí)，使PQ⊥MQ.