Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E．

（1）求證：∠CBP=∠ABP；

（2）求證：AE=CP；

（3）當(dāng)，BP′=時(shí)，求線段AB的長．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到，∴AP=AP′。∴∠APP′=∠AP′P。

∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°。

又∵∠BPC=∠APP′（對(duì)頂角相等）。∴∠CBP=∠ABP。

（2）證明：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP。

∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°。

又∵∠PAD+∠EAP′=90°，

∴∠PAD=∠AP′E。

在△APD和△P′AE中，

∵，

∴△APD≌△P′AE（AAS）。∴AE=DP。∴AE=CP。

（3）∵，∴設(shè)CP=3k，PE=2k，則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k。

在Rt△AEP′中，，

∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°。

∵∠BPC=∠EPP′（對(duì)頂角相等），∴∠CBP=∠P′PE。

又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′。

∴。即。∴。

在Rt△ABP′中，，即。

解得AB=10

【解析】

試題：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠APP′=∠AP′P，再根據(jù)等角的余角相等證明即可；

（2）過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=DP，從而得證；

（3）設(shè)CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．

試題解析：（1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到，

∴AP=AP′，

∴∠APP′=∠AP′P，

∵∠C=90°，AP′⊥AB，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，

又∵∠BPC=∠APP′，

∴∠CBP=∠ABP；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，

∴CP=DP，

∵P′E⊥AC，

∴∠EAP′+∠AP′E=90°，

又∵∠PAD+∠EAP′=90°，

∴∠PAD=∠AP′E，

在△APD和△P′AE中，

，

∴△APD≌△P′AE（AAS），

∴AE=DP，

∴AE=CP；

（3）解：∵，

∴設(shè)CP=3k，PE=2k，

則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，

在Rt△AEP′中，P′E==4k，

∵∠C=90°，P′E⊥AC，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°，

∵∠BPC=∠EPP′，

∴∠CBP=∠EP′P，

又∵∠CBP=∠ABP，∴∠ABP=∠EP′P，

又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，

∴△ABP′∽△EPP′，

∴，

即，

解得P′A=AB，

在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，

即AB2+AB2=（5）2，

解得AB=10．