Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“勾股距離”我們記為d（P₁，P₂），給出如下定義：若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則d（P₁，P₂）=|x₁-x₂|；若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，則d（P₁，P₂）=|y₁-y₂|．
如圖①，點(diǎn)P₁（1，2），點(diǎn)P₂（3，5），因?yàn)閨1-3|＜|2-5|，所以點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“勾股距離”為d（P₁，P₂）=|2-5|=3，也就是圖1中線段P₁Q與線段P₂Q長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P₁Q與垂直于x軸的直線P₂Q的交點(diǎn)）．請(qǐng)你在學(xué)習(xí)理解上述定義的基礎(chǔ)上，探究下面的問題：
（1）已知點(diǎn)M（0，-2），N（a，0）為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)d（M，N）=3時(shí)，則滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)是（3，0）或（-3，0）
②當(dāng)d（M，N）最小時(shí)，則點(diǎn)N橫坐標(biāo)a的取值范圍是-2≤a≤2
（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系xOy中有一個(gè)矩形ABCD，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，-1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1），矩形ABCD的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，已知點(diǎn)E是直線y=x+6上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①求d（E，D）的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②動(dòng)點(diǎn)F在矩形ABCD上由A→B→C→D→A運(yùn)動(dòng)一周，求d（E，F(xiàn)）最小值的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)“勾股距離”的定義結(jié)合d（M，N）=3，即可得出關(guān)于a的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解方程即可求出a值，從而得出點(diǎn)N坐標(biāo)；②根據(jù)“勾股距離”的定義結(jié)合點(diǎn)M（0，-2），N（a，0）的坐標(biāo)即可得出關(guān)于a含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，解不等式即可得出a的取值范圍；
（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)找出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)“勾股距離”的定義找出|x_E-x_D|=|m+3|，|y_E-y_D|=|m+5|，結(jié)合數(shù)軸即可找出當(dāng)m=-4時(shí)，d（E，D）取最小值，由此即可得出結(jié)論；②觀察圖形可得出點(diǎn)D離直線最近，點(diǎn)B離直線最遠(yuǎn)，結(jié)合①的結(jié)論即可得出d（E，F(xiàn)）最小值中的最小值，利用①的方法可找出當(dāng)m=-2時(shí)，d（E，B）為d（E，F(xiàn)）最小值中的最大值，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①∵M(jìn)（0，-2），N（a，0），d（M，N）=3，
∴|0-a|=3，
∴a=±3，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0）或（-3，0）．
故答案為：（3，0）或（-3，0）．
②∵|-2-0|=2，
∴|0-a|≤2，
解得：-2≤a≤2．
故答案為：-2≤a≤2．
（2）①∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，-1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1），矩形ABCD的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，1）．
∵點(diǎn)E是直線y=x+6上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m+6）．
∵|x_E-x_D|=|m+3|，|y_E-y_D|=|m+5|（如圖1），
當(dāng)m=-4時(shí)，d（E，D）取最小值，最小值為1，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4，2）．
②觀察函數(shù)圖象可知，點(diǎn)D離直線y=x+6最近，點(diǎn)B離直線y=x+6最遠(yuǎn)．
結(jié)合①可知：d（E，F(xiàn)）≥1．
∵|x_E-x_B|=|m-3|，|y_E-y_B|=|m+7|（如圖2），
∴當(dāng)m=-2時(shí)，d（E，B）取最小值，最小值為5．
故動(dòng)點(diǎn)F在矩形ABCD上由A→B→C→D→A運(yùn)動(dòng)一周，d（E，F(xiàn)）最小值的取值范圍為1≤d（E，F(xiàn)）≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程以及不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）①找出關(guān)于a的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程；②找出關(guān)于a含絕對(duì)值符號(hào)的不等式；（2）借助數(shù)軸找出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，借助于數(shù)軸找出“勾股距離”最小值是關(guān)鍵．