Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-x-2過A、B、C三點(diǎn)，在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，以P、A、C為頂
點(diǎn)三角形為直角三角形．則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

（

1

2

，

3

4

）或（

1

2

，-

7

4

）或（

1

2

，-

1

2

）或（

1

2

，-

3

2

）

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸為x=

1

2

，令y=0，解方程求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長(zhǎng)度，令x=0，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得到OC的長(zhǎng)度，然后分①∠PAC=90°時(shí)，設(shè)PA與y軸的交點(diǎn)為D，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OD的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AP的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上求出即可，②∠PCA=90°時(shí)，設(shè)CP的延長(zhǎng)線與x軸相交于點(diǎn)D，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OD的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線CP的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上求出即可，③∠APC=90°時(shí)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥PD于點(diǎn)E，表示出AD的長(zhǎng)度，設(shè)PD=a，表示出PE，CE，然后利用△APD和△PCE相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出a，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：∵拋物線y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

1

2

，
令y=0，則x²-x-2=0，
解得x₁=-1，x₂=2，
∴點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），
∴OA=1，OB=2，
令x=0，則y=-2，
∴點(diǎn)C（0，-2），
∴OC=2，
①∠PAC=90°時(shí)，如圖1，設(shè)PA與y軸的交點(diǎn)為D，
∵∠DAO+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠DAO=∠ACO，
又∵∠AOC=∠DOA=90°，
∴△ACO∽△DAO，
∴

OA

OD

=

OC

OA

，
即

1

OD

=

2

1

，
解得OD=

1

2

，
所以，點(diǎn)D（0，

1

2

），
設(shè)直線AP解析式為y=kx+b，
則

-k+b=0 b= 1 2

，
解得

k= 1 2 b= 1 2

，
所以，直線AP的解析式為y=

1

2

x+

1

2

，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=

1

2

×

1

2

+

1

2

=

3

4

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，

3

4

）；
②∠PCA=90°時(shí)，如圖2，設(shè)CP的延長(zhǎng)線與x軸相交于點(diǎn)D，
同①可求△ACO∽△CDO，
所以，

OA

OC

=

OC

OD

，
即

1

2

=

2

OD

，
解得OD=4，
所以，點(diǎn)D（4，0），
設(shè)直線CP的解析式為y=mx+n，
則

n=-2 4m+n=0

，
解得

m= 1 2 n=-2

，
所以，直線CP的解析式為y=

1

2

x-2，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=

1

2

×

1

2

-2=-

7

4

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，-

7

4

）；
③∠APC=90°時(shí)，如圖3，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥PD于點(diǎn)E，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=

1

2

，
∴AD=

1

2

-（-1）=

3

2

，CE=

1

2

，
設(shè)PD=a，則PE=PE-PD=OC-PD=2-a，
∵∠PAD+∠APD=90°，∠APD+∠CPE=90°，
∴∠PAD=∠CPE，
又∵∠ADP=∠PEC=90°，
∴△APD∽△PCE，
∴

AD

PE

=

PD

CE

，
即

3 2

2-a

=

a

1 2

，
整理得，4a²-8a+3=0，
解得a₁=

1

2

，a₂=

3

2

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，-

1

2

）或（

1

2

，-

3

2

），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，

3

4

）或（

1

2

，-

7

4

）或（

1

2

，-

1

2

）或（

1

2

，-

3

2

）．
故答案為：（

1

2

，

3

4

）或（

1

2

，-

7

4

）或（

1

2

，-

1

2

）或（

1

2

，-

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線對(duì)稱軸的求解，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線解析式，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，注意分情況討論求解即可．