【題目】如圖,在直角三角形△ABC中,∠B=90°,AB=12cm,BC=16cm,點P從A開始沿AB邊向點B以2cm/s的速度移動,點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動.P,Q分別從A,B同時出發(fā),當(dāng)一個動點到達終點則另一動點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t(s)
(1)求t為何值時,△PBQ為等腰三角形?
(2)是否存在某一時刻t,使點Q在線段AC的垂直平分線上?
(3)點P、Q在運動的過程中,是否存在某一時刻t,直線PQ把△ABC的周長與面積同時分為1:2兩部分?若存在,求出t,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)t=2;(2)t=秒;(3)存在,當(dāng)t=2時,直線PQ把△ABC的周長與面積同時分為1:2兩部分.
【解析】
(1)根據(jù)題意求出AP=2t,BQ=4t,根據(jù)等腰三角形的概念列出方程,解方程即可;
(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到QC=QA,根據(jù)勾股定理表示出AQ,根據(jù)題意列出方程,解方程即可;
(3)分AC+AP+CQ=2×(BP+BQ)和2(AC+AP+CQ)=BP+BQ兩種情況,根據(jù)周長公式求出t,根據(jù)三角形的面積公式判斷即可.
解:(1)由題意得,AP=2t,BQ=4t,
則BP=12﹣2t,
當(dāng)△PBQ為等腰三角形時,只有BP=BQ,
∴12﹣2t=4t,
解得,t=2;
(2)當(dāng)點Q在線段AC的垂直平分線上時,QC=QA,
設(shè)BQ=x,
則=16﹣x,
解得,x=3.5,即BQ=3.5,
∴t==(秒);
(3)在Rt△ABC中,AC==20,
△ABC的面積=×AB×BC=96cm2,
當(dāng)直線PQ把△ABC的周長分為1:2兩部分時,
①當(dāng)AC+AP+CQ=2×(BP+BQ)時,20+2t+16﹣4t=2(12﹣2t+4t),
解得,t=2,
則PB=12﹣4=8,BQ=4×2=8,
則△BPQ的面積=×PB×QB=32,
∴四邊形CAPQ的面積=96﹣32=64,
△BPQ的面積:四邊形CAPQ的面積=1:2,
∴當(dāng)t=2時,直線PQ把△ABC的周長與面積同時分為1:2兩部分,
②當(dāng)2(AC+AP+CQ)=BP+BQ時,2(20+2t+16﹣4t)=12﹣2t+4t,
解得,t=10(不合題意),
∴當(dāng)t=2時,直線PQ把△ABC的周長與面積同時分為1:2兩分.
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【題目】下列說法中錯誤的是【 】
A.某種彩票的中獎率為1%,買100張彩票一定有1張中獎
B.從裝有10個紅球的袋子中,摸出1個白球是不可能事件
C.為了解一批日光燈的使用壽命,可采用抽樣調(diào)查的方式
D.?dāng)S一枚普通的正六面體骰子,出現(xiàn)向上一面點數(shù)是2的概率是
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線相交于點D,DE⊥AB交AB的延長線于點E,DF⊥AC于點F,現(xiàn)有下列結(jié)論:①DE=DF;②DE+DF=AD;③AM平分∠ADF;④AB+AC=2AE;其中正確的有( )
A.個B.個C.個D.個
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【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,過對角線AC中點O的直線分別交邊BC、AD于點E、F
(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形;
(2)如圖2,當(dāng)EF⊥AC時,求EF的長度.
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【題目】為將我們的城市裝扮的更美麗,園林綠化工人要將公園一角的一塊四邊形的空地ABCD種植上花草.經(jīng)測量,∠B=90°,AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米.若每平方米空地需要購買150元的花草.將這塊空地全部綠化需要購買多少元的這種花草?
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【題目】一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球,這些球除顏色外都相同,其中紅球有2個,若從中隨機摸出一個球,這個球是白球的概率為.
(1)求袋子中白球的個數(shù);(請通過列式或列方程解答)
(2)隨機摸出一個球后,放回并攪勻,再隨機摸出一個球,求兩次都摸到相同顏色的小球的概率.(請結(jié)合樹狀圖或列表解答)
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【題目】已知:ABCD的對角線AC、BD相交于點O,過點D作DP∥OC且DP=OC,連接CP.得到四邊形CODP.
(1)如圖(1),在ABCD中,若∠ABC=90°,判斷四邊形CODP的形狀,并證明;
(2)如圖(2),在ABCD中,若AB=AD,判斷四邊形CODP的形狀,并證明;
(3)如圖(3),在ABCD中,若∠ABC=90°,且AB=AD,判斷四邊形CODP的形狀,不需證明.
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【題目】如圖,已知:AD平分∠CAE,AD∥BC.
(1)求證:△ABC是等腰三角形.
(2)當(dāng)∠CAE等于多少度時△ABC是等邊三角形?證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,已知一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,與反比例函數(shù)的圖象分別交于C、D兩點,點D(2,﹣3),點A(-2,0).
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△COD的面積;
(3)直接寫出y1>y2時自變量x的取值范圍.
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