Question

如圖，直線MN：y=-x+b與x軸交于點(diǎn)M（4，0），與y軸交于點(diǎn)N，長方形ABCD的邊AB在x軸上，AB=2，AD=1．長方形ABCD由點(diǎn)A與點(diǎn)O重合的位置開始，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸正方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)M重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)長方形運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，長方形ABCD與△OMN重合部分的面積為S．
（1）求直線MN的解析式；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)C是否在直線MN上，并說明理由；
（3）請(qǐng)求出當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D在直線MN上；
（4）直接寫出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）將M坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出b的值，即可確定出直線MN解析式；
（2）如圖1所示，當(dāng)t=1時(shí)，點(diǎn)C在直線MN上，理由為：由t=1求出點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路程，再由AB與AD的長，確定出此時(shí)C的坐標(biāo)，將C坐標(biāo)代入一次函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（3）如圖2所示，點(diǎn)D向右平移過程中縱坐標(biāo)不變，由題意求出開始時(shí)D的坐標(biāo)，將D縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出x的值，確定出平移后D的坐標(biāo)，即可求出此時(shí)t的值；
（4）分四組情況考慮：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，如圖1，S為矩形的面積，表示出即可；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖2，S為矩形的面積-三角形的面積，當(dāng)2＜t≤3時(shí)如圖3，S=梯形ADFM的面積，當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖4，S=S_△AMF的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)M（4，0）在y=-x+b上，
∴0=-4+b，
∴b=4．
∴直線MN的解析式為：y=-x+4；

（2）當(dāng)t=1時(shí)，點(diǎn)C在直線MN上，
∵當(dāng)t=1時(shí)，C（3，1），
∴當(dāng)x=3時(shí)，y=-3+4=1．
∵C點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=1，
∴點(diǎn)C（3，1）在直線MN上．

（3）∵開始時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），
∴平移后D點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，
∴1=-x+4，
∴x=3．
∴平移后點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，1）．
∴t=（3-0）÷1=3
∴t=3時(shí)，點(diǎn)D在直線MN上；

（4）由題意，得
當(dāng)0≤t≤1時(shí)，如圖1
S=2
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖2，
∵M(jìn)N的解析式為y=-x+4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
當(dāng)y=0時(shí)，x=4，
∴OM=ON=4，
∴tan∠OMN=1．
∴∠OMN=45°，
∴BM=BE．
∵M(jìn)B=4-2-t=2-t，
∴BE=2-t．
∴CF=CE=1-（2-t）=t-1
S=2-

(t-1)2

2

，
=-0.5t²+t+1.5；
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖3，作EF⊥AB于E，
∴EF=1，
∴EM=1．
∵M(jìn)B=t+2-4=t-2，
∴AM=2-（t-2）=4-t，
∴AE=4-t-1=3-t，
∴DF=3-t，
∴S=

[(3-t)+(4-t)]×1

2

=-t+3.5；
當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖4，
∵AM=AF=4-t，
∴S=

(4-t)2

2

=0.5t²-4t+8，
綜上所述：
S=

2(0≤t≤1) -0.5t2+t+1.5(1＜t≤2) -t+3.5(2＜t≤3) 0.5t2-4t+8(3＜t≤4)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，判定點(diǎn)的坐標(biāo)是否在圖象上的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的面積公式的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答本題時(shí)求出直線解析式是關(guān)鍵．