【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB為直角,AB=10,°,半徑為1的動圓Q的圓心從點C出發(fā),沿著CB方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動,同時動點P從點B出發(fā),沿著BA方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動,設運動時間為t秒(0<t≤5)以P為圓心,PB長為半徑的⊙PABBC的另一個交點分別為E、D,連結ED、EQ

(1)判斷并證明EDBC的位置關系,并求當點Q與點D重合時t的值;

(2)當⊙PAC相交時,設CQ,PAC 截得的弦長為,求關于的函數(shù); 并求當⊙Q過點B時⊙PAC截得的弦長;

(3)若⊙P與⊙Q相交,寫出t的取值范圍.

【答案】(1)EDBC;(2),;(3)

【解析】試題分析:(1)連接PD,由PB=PD,PD=PE,可得∠PBD=∠PDB,∠PDE=∠PED,再由三角形的內(nèi)角和定理可得∠BDE=∠BDP+∠PDE=90°,即可得DE⊥BC;因DE∥CA,可得△BDE∽△BCA,根據(jù)相似三角形的性質可得,設CQ=CD=t,BD=5-t,BE=2t,代入求得t值即可;設⊙PAC相交于 M、N,BP=CQ=x,AP=AB-BP=10-x,過點PPH⊥AC于點 H,Rt△APH中,可得PH= AP,PH=(10-x),Rt△PHN中,即可求得y關于x的函數(shù);如圖當⊙Q經(jīng)過B點時, CQ=CB﹣QB=4,t的值代入即可求得MN的長;(3)QP與⊙Q外切時,如圖,此時易知∠QBP=60°,BQ=5-t,PQ=t+1,BP=t,,因從此時起直至停止運動,⊙P與⊙Q都處于相交位置,即可得⊙P與⊙Q相交時t的取值范圍.

試題解析:

1)連接PD,BE、D都在⊙P

PB=PD,PBD=PDB, PD=PE,PDE=PED

∵△BDE的內(nèi)角和為180° ∴∠BDE=BDP+PDE=90°,

∴即:DEBC

∵∠BCA=90°,°

DECA∴△BDE∽△BCA,

CQ=CD=tBD=5-t,BE=2t

代入有 解得:

∴當QD重合.

(2)設⊙PAC相交于 MN,

BP=CQ=x,AP=AB-BP=10-x過點PPHAC于點 H

RtAPH中,易知:

PH=

RtPHN中,易知:HN==

當⊙Q經(jīng)過B點時,(如圖) CQ=CBQB=4,

代入得:

(3)當QP與⊙Q外切時,如圖,

易知此時∠QBP=60°,BQ=5-tPQ=t+1,BP=t

∵從此時起直至停止運動,⊙P與⊙Q都處于相交位置

∴⊙P與⊙Q相交時t的取值范圍為:

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