Question

據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五，后人概括為“勾三、股四、弦五”．

(1)觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．計算(9－1)，(9＋1)與(25－1)，(25＋1)，并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；

(2)根據(jù)(1)的規(guī)律，用n(n為奇數(shù)且n≥3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合理猜想他們之間兩種相等關系并對其中一種猜想加以證明；

(3)繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過，運用類似上述探索的方法，直接用m(m為偶數(shù)且m＞4)的代數(shù)式來表示他們的股和弦．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)∵(9－1)＝4，(9＋1)＝5；(25－1)＝12，(25＋1)＝13； 　　∴7，24，25的股的算式為(49－1)＝(72－1)，弦的算式為(49＋1)＝(72＋1)． 　　(2)當n為奇數(shù)且n≥3時，勾、股、弦的代數(shù)式分別為n，(n2－1)，(n2＋1)． 　　例如關系式①，弦－股＝1；關系式②，勾2＋股2＝弦2． 　　證明關系式①：弦－股＝(n2＋1)－(n2－1)＝[(n2＋1)－(n2－1)]＝1； 　　或者證明關系式②：勾2＋股2＝n2＋[(n2－1)]2＝n4＋n2＋＝(n2＋1)2＝弦2，∴猜想得證． 　　(3)例如探索得，當m為偶數(shù)且m＞4時，股、弦的代數(shù)式分別為()2－1，()2＋1． 　　剖析：首先根據(jù)題目中已知的數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)關系分析，再分析其一般規(guī)律．

提示：

本題是一個勾股數(shù)的探索問題，能考查學生觀察、分析、類比、猜想和論證能力，第(2)、(3)小題都是開放題，考查學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力．