Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，如圖所示，點D、E分別是AB、AC邊的中點，AF⊥BE交BC于點F，連結EF、CD交于點H．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）求證：∠EAF=∠ACD；
（3）猜想直線EF與直線CD的位置關系．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）易證AD=AE，即可證明△ABE≌△ACD；
（2）易證∠EAF=∠ABE，根據（1）中結論可得∠ABE=∠ACD，即可解題；
（3）過點C作CM⊥AC交AF延長線于點M，易證△ABE≌△CAM，可得AE=CM，∠AEB=∠M，即可證明△EFC≌△MCF，可得∠FEC=∠M，即可證明△ABE≌△ACD，可得∠ABE=∠ACD，即可解題．

解答：解：（1）∵點D、E分別是AB、AC邊的中點，∴AD=AE，
∵在△ABE和△ACD中，

AD=AE ∠BAE=∠CAD AB=AC

，
∴△ABE≌△ACD，（SAS）；
（2）∵∠EAF+∠AEB=90°，∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠ABE，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠EAF=∠ACD；
（3）證明：如圖，過點C作CM⊥AC交AF延長線于點M，

∵在△ABE和△CAM中，

∠ABE=∠EAF AB=AC ∠BAC=∠ACM

，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴AE=CM，∠AEB=∠M，
∵AE=EC，
∴EC=CM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠FCM=90-45°=45°=∠ACF，
在△EFC和△MFC中，

EV=MC ∠FCM=∠ECF CF=CF

，
∴△EFC≌△MCF（SAS），
∴∠FEC=∠M，
∴∠FEC=∠FCM，
∵AB=AC，點D、E分別是AB、AC邊的中點，
∴AD=AE，
在△ABE與△ACD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠ACD+∠FEC=90°，
∴∠EHC=90°，
∴EF⊥CD．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證△ABE≌△CAM、△EFC≌△MCF和△ABE≌△ACD是解題的關鍵．