Question

已知：如圖，正三角形ABC中，P為AB的中點，Q為AC的中點，R為BC 的中點，M為RC上任意一點，△PMS為正三角形．求證：RM=QS．

Answer 1

分析：連接PR、PQ，根據(jù)P、Q、R為中點，根據(jù)三角形中位線定理可得PQ=PR，利用60°證明∠QPS=∠RPN，再根據(jù)△PMS為正三角形可得PS=PM，然后利用邊角邊定理證明△PRM與△PQS全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明．

解答：證明：連接PR、PQ，∵P為AB的中點，Q為AC的中點，R為BC 的中點，
∴PQ=

1

2

BC，PR=

1

2

AC，
∴PQ=PR，
∵∠APQ=∠BPR=60°，
∴∠RPQ=180°-2×60°=60°，
又∵∠QPS=∠MPS-∠MPQ=60°-∠MPQ，
∠RPM=∠RPQ-∠MPQ=60°-∠MPQ，
∴∠QPS=∠RPM，
在△PRM與△PQS中，

PQ=PR ∠QPS=∠RPM PS=PM

，
∴△PRM≌△PQS（SAS）．
∴RM=QS．

點評：本題主要考查了等邊三角形的三條邊都相等，每一個角都是60°的性質(zhì)，三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用全等三角形證明線段相等是常用的方法，需要熟練掌握．