Question

已知：如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)D是

BC

的中點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)BD到點(diǎn)E，使BD=DE，連接CD和DE．
（1）求證：△CDE是正三角形．
（2）問(wèn)：△CDE經(jīng)怎樣的變換后能與△ABC成位似圖形？請(qǐng)?jiān)趫D中直接畫(huà)出△CDE變換后的對(duì)應(yīng)三角形△CD'E'，并求出△CD'E'與△ABC的位似比．

Answer 1

分析：（1）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可以求得∠BDC的度數(shù)，然后利用有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可以判定等邊三角形；
（2）當(dāng)CD與CA重合時(shí)，兩三角形位似，所以當(dāng)旋轉(zhuǎn)∠ACD的度數(shù)的時(shí)候，兩三角形位似，位似比等于CD與CA的比．∠B

解答：解：（1）證明：∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠CDE=60°，
∵點(diǎn)D是

BC

的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∵BD=DE，
∴CD=DE，
∴△CDE是正三角形；

（2）如圖：當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠ACD的度數(shù)時(shí)與△ABC成位似圖形，
∵∠BDC=120°，BD=CD，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=90°，
∴當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°時(shí)與△ABC成位似圖形，
作DF⊥BC于F點(diǎn)，
設(shè)DC=2x，
∵∠BCD=30°，
∴FC=

3

x，
∴BC=2FC=2

3

x，
∴位似比=

DC

AC

=

DC

BC

=

2x

2 3 x

=

3

3

，
∴位似比為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了位似變換、等邊三角形的判定及性質(zhì)、圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BDC的度數(shù)．