Question

【題目】【問題探究】

（）如圖①，點是正高上的一定點，請在上找一點，使，并說明理由．

（）如圖②，點是邊長為的正高上的一動點，求的最小值．

【問題解決】

（）如圖③，、兩地相距， 是筆直第沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路．今計劃在鐵路線上修一個中轉(zhuǎn)站，再在間修一條筆直的公路．如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍．那么，為使通過鐵路由到再通過公路由到的總運費達到最小值，請確定中轉(zhuǎn)站\的位置，并求出的長．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

【答案】（）見解析；（）；（）．

【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAD=30°，得出EF=AE；
（2）根據(jù)題意得出C，M，N在一條直線上時，此時AM+MC最小，進而求出即可；
（3）作BD⊥AC，垂足為點D，在AC異于點B的一側(cè)作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足為點F，交AC于點M，點M即為所求，在Rt△ABD中，求出AD的長，在Rt△MBD中，得出MD的長，即可得出答案．

解：（）過點作于，點即為所求．

證明：∵為正， ，

∴．

（）在中， ，

如圖，作于，交于，

由（）可知，

∴最小．

（）如圖，作于．

在點另一側(cè)作，

作于，交于，點即為所求．

在中， ， ．

∴．

在中， ，

∴，

∴，

．

“點睛”此題主要考查了正三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理等知識，利用特殊角的三角函數(shù)關(guān)系得出是解題關(guān)鍵．