Question

6．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于點E，與AB的延長線相交于點F．
（1）求證：EF與⊙O相切；
（2）若AB=6，AD=4$\sqrt{2}$，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由題可知，E已經(jīng)是圓上一點，欲證CD為切線，只需證明∠ODF=90°即可；
（2）連接BD，作DG⊥AB于G，根據(jù)勾股定理求出BD，進而根據(jù)勾股定理求得DG，根據(jù)角平分線性質(zhì)求得DE=DG=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，然后根據(jù)△ODF∽△AEF，得出比例式，即可求得EF的長．

解答 （1）證明：連接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠EAD．
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD．
∴∠ODA=∠EAD．
∴OD∥AE．
∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上，
∴EF與⊙O相切．
（2）連接BD，作DG⊥AB于G，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=6，AD=4$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2，
∵OD=OB=3，
設(shè)OG=x，則BG=3-x，
∵OD²-OG²=BD²-BG²，即3²-x²=2²-（3-x）²，
解得x=$\frac{7}{3}$，
∴OG=$\frac{7}{3}$，
∴DG=$\sqrt{O{D}^{2}-O{G}^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，
∴DE=DG=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{16}{3}$，
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{OD}{AE}$，即$\frac{EF-ED}{EF}$=$\frac{OD}{AE}$，
∴$\frac{EF-\frac{4}{3}\sqrt{2}}{EF}$=$\frac{3}{\frac{16}{3}}$，
∴EF=$\frac{64}{21}$$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，切線的判定等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，兩小題題型都很好，都具有一定的代表性．