Question

11．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF=45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．
（1）求證：△ACE∽△BFC；
（2）試探究AF、BE、EF之間有何數量關系？說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得出∠A=∠B=45°，再證得∠CFB=∠ACE，即可得出△ACE∽△BFC；
（2）將△ACF順時針旋轉90°至△BCD，由旋轉的性質得出CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF，證得∠DCE=∠2，由SAS可證△ECF≌△ECD，得出EF=DE，證得∠EBD=90°，由勾股定理即可得出結論．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠CFB=∠ACF+∠A=∠ACF+45°，
∠ACE=∠ACF+∠ECF=∠ACF+45°，
∴∠CFB=∠ACE，
∴△ACE∽△BFC；
（2）解：EF²=AF²+BE²，理由如下：
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
將△ACF順時針旋轉90°至△BCD，如圖所示：
則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF，
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2，
在△ECF和△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠2=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE，
∵∠5=45°，
∴∠EBD=90°，
∴DE²=BD²+BE²，
即EF²=AF²+BE²．

點評 本題是相似形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、相似三角形的判定、旋轉的性質等知識；綜合性較強，有一定的難度．