已知一次函數(shù)y1=2x和二次函數(shù)y2=x2+1.
(1)求證:函數(shù)y1、y2的圖象都經(jīng)過同一個定點;
(2)求證:在實數(shù)范圍內(nèi),對于任意同一個x的值,這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1≤y2總成立;
(3)是否存在拋物線y3=ax2+bx+c,其圖象經(jīng)過點(-5,2),且在實數(shù)范圍內(nèi),對于同一個x的值,這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1≤y3≤y2總成立?若存在,求出y3的解析式;若不存在,說明理由.
解:(1)令y
1=y
2,
得:2x=x
2+1,
整理得:x
2-2x+1=0
∵△=b
2-4ac=(-2)
2-4=0
∴直線y
1=2x與拋物線y
2=x
2+1只有一個交點,
即:函數(shù)y
1、y
2的圖象都經(jīng)過同一個定點;
(2)在實數(shù)范圍內(nèi),對于x的同一個值y
2=x
2+1=(x-1)
2+2x,y
1=2x,
∵(x-1)
2≥0,
∴y
1≤y
2;
(3)由y
1=2x,y
2=x
2+1得:
y
2-y
1=x
2+1-2x=(x-1)
2即當(dāng)x=1時,有y
1=y
2=2.
所以(1,2)點為y
1和y
2的交點.
因為要滿足y
1≤y
3≤y
2恒成立,所以y
3圖象必過(1,2)點.
又因為y
3-y
1=ax
2+bx+c-2x恒大于等于0,即ax
2+(b-2)x+c恒大于等于0,所以二次函數(shù)ax
2+(b-2)x+c必定開口向上,
即有a>0且(b-2)
2-4ac≤0,
同樣有y
2-y
3=(1-a)x
2-bx+(1-c)恒大于0,
有 1-a>0 且 b
2-4(1-a)(1-c)≤0,
又因為函數(shù)過(-5,2)和(1,2)兩點,所以有
25a-5b+c=2 ①
a+b+c=2 ②
①-②得 b=4a,
將b=4a代入②得:c=2-5a,
代入(b-2)
2-4ac≤0得,
(4a-2)
2-4a(2-5a)=16a
2-16a+4-8a+20a
2=36×a
2-24a+4=4(3a-1)
2≤0
等式成立時 a=
,
將b=4a,c=2-5a 代入b
2-4(1-a)(1-c)≤0,
(4a)
2-4(1-a)(1-(2-5a))=36×a
2-24a+4=4(3a-1)
2≤0
滿足條件a=
所以y
3的解析式為y
3=
(x
2+4a+1)=
x2+
x+
.
分析:(1)令y
1=y
2,得到2x=x
2+1,得到其根的判別式等于0即可說明兩圖象只有一個交點,即經(jīng)過同一個定點.
(2)把y
2化成完全平方的形式與y
1進行比較即可得出結(jié)論;
(3)由圖可知,在實數(shù)范圍內(nèi),對于x的同一個值,三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y
1≤y
3≤y
2均成立,利用c=2-5a,代入(b-2)
2-4ac≤0得出a的值,于是可推理出拋物線的解析式.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根的判別式、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法,難度較大.