Question

已知：拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C． 其中點A在x軸的負(fù)半軸上，點C在y軸的負(fù)半軸上，線段OA、OC的長（OA<OC）是方程的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線．

（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；

（2）求此拋物線的解析式；

（3）若點D是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點D作DE∥BC交AC于點E，連結(jié)CD，設(shè)BD的長為m，△CDE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA、OC的長是x²－5x+4=0的根，OA<OC

∴OA=1，OC=4

∵點A在x軸的負(fù)半軸，點C在y軸的負(fù)半軸

∴A（－1，0）  C（0，－4）           

∵拋物線的對稱軸為

∴由對稱性可得B點坐標(biāo)為（3，0）

∴A、B、C三點坐標(biāo)分別是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）

（2）∵點C（0，－4）在拋物線圖象上

∴

將A（－1，0），B（3，0）代入得

解之得

∴ 所求拋物線解析式為：

（3）根據(jù)題意，，則

在Rt△OBC中，BC==5

∵，∴△ADE∽△ABC

∴

∴

過點E作EF⊥AB于點F，則sin∠EDF=sin∠CBA=

∴

∴EF=DE==4－m

∴S_△CDE=S_△ADC－S_△ADE

=（4－m）×4（4－m）（ 4－m）

=m²+2m（0<m<4）

∵S=（m－2）²+2， a=<0

∴當(dāng)m=2時，S有最大值2.

∴點D的坐標(biāo)為（1，0）.