【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)

問題情境:

如圖1,ABCABAC,BAC90°,D,E分別是邊ABAC的中點(diǎn),ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°α90°)得到ADE,連接CE,BD′.探究CEBD的數(shù)量關(guān)系;

1   2 3   4

探究發(fā)現(xiàn):

(1)1,CEBD的數(shù)量關(guān)系是________

(2)如圖2,若將問題中的條件“D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)”改為“DAB邊上任意一點(diǎn),DEBCAC于點(diǎn)E,其他條件不變,(1)CEBD的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?請(qǐng)說明理由;

拓展延伸:

(3)如圖3,(2)的條件下,連接BE,CD,分別取BC,CD,ED,BE的中點(diǎn)FG,H,I順次連接F,GH,I得到四邊形FGHI.請(qǐng)判斷四邊形FGHI的形狀并說明理由;

(4)如圖4,ABC,ABAC,BAC60°,點(diǎn)D,E分別在AB,ACDEBC,ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ADE,連接CE,BD′.請(qǐng)你仔細(xì)觀察,提出一個(gè)你最關(guān)心的數(shù)學(xué)問題(例如:CEBD相等嗎?)

【答案】CEBD

【解析】試題分析:(1)先證明AD=AE,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到∠BAD′=∠CAE′=α,AD′=AE′,證明△ABD′≌△ACE′,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得;

(2)類比(1)的方法先證明AD=AE,然后再證明△ABD′≌△ACE′,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得;

(3)先證明四邊形FGHI是平行四邊形,再證明四邊形FGHI是菱形, 延長(zhǎng)CE交BD′于點(diǎn)M,由(2)得△ABD′≌△ACE′, 從而推導(dǎo)可得∠CBM+∠BCM=90°,進(jìn)而可推導(dǎo)得到∠IFG=90°,從而得四邊形FGHI是正方形;

(4)答案不唯一,只要符合題意即可.

試題解析:(1) ∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),AD=AB,AE=AC,

∵AB=AC,∴AD=AE,

∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<90°),得到△AD′E′,

∴∠BAD′=∠CAE′=α,AD′=AE′,

在△ABD′和△ACE′中

∴△ABD′≌△ACE′,

∴CE′=BD′,

故答案為:CE′=BD′;

(2)CE′與BD′的數(shù)量關(guān)系還成立,理由如下:

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,

∵DE∥BC,

∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB.

∴∠ADE=∠AED,∴ AD=AE,

∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<90°),得到△AD′E′,

∴∠BAD′=∠CAE′=α,AD′=AE′,

在△ABD′和△ACE′中,

∴ △ABD′≌△ACE′,

∴ CE′=BD′;

(3)四邊形FGHI是正方形,

∵F,G,H,I分別是BC,CD′,E′D′,BE′的中點(diǎn),

∴FG=HI=BD′,IF=HG=CE′.

∴四邊形FGHI是平行四邊形,

又∵BD′=CE′,∴FG=IF,

∴四邊形FGHI是菱形,

延長(zhǎng)CE交BD‘于點(diǎn)M,如圖,

由(2)得△ABD′≌△ACE′,

∴∠ACE′=∠ABD′,

∵∠BAC=90°,

∴∠ACE′+∠ABC+∠BCM=90°,

∴∠ABD′+∠ABC+∠BCM=90°,

∴∠CBM+∠BCM=90°,

又∵FG∥BD′,IF∥CE′,

∴∠CFG=∠CBM,∠BFI=∠BCM,

∴∠CFG+∠BFI=90°,∴∠IFG=90°,

∴四邊形FGHI是正方形;

(4)答案不唯一,如:①△ABD′和△ACE′全等嗎?

②△BDD′和△CEE′全等嗎?

③∠BD′D和∠CE′E相等嗎?

④四邊形AD′DE是菱形嗎?,

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................ ..第二步

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..................................第四步

當(dāng)x=-時(shí),原式= .......................第五步

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1    2

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