Question

【題目】在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．

（1）如圖1，當(dāng)DE=DF時(shí)，圖1中是否存在與AB相等的線段？若存在，請(qǐng)找出，并加以證明；若不存在，說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)DE=kDF（其中0＜k＜1）時(shí)，若∠A=90°，AF=m，求BD的長（用含k，m的式子表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，連結(jié)AE．

∵DE=DF，

∴∠DEF=∠DFE，

∵∠ADF+∠DEC=180°，

∴∠ADF=∠DEB．

∵∠AFE=∠BDE，

∴∠AFE+∠ADE=180°，

∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，

∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．

∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，

∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，

∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，

∴AB=BE.

（2）

解：如圖2，連結(jié)AE．

∵∠AFE=∠BDE，

∴∠AFE+∠ADE=180°，

∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，

∴∠ADF=∠AEF，

∵∠DAF=90°，

∴∠DEF=90°，

∵∠ADF+∠DEC=180°，

∴∠ADF=∠DEB．

∵∠ADF=∠AEF，

∴∠DEB=∠AEF．

在△BDE與△AFE中，

，

∴△BDE∽△AFE，

∴．

在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，

∴EF==DF，

∴==，

∴BD=．

【解析】（1）如圖1，連結(jié)AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，則∠AEB=∠DEF=∠BAE，根據(jù)等角對(duì)等邊得出AB=BE；
（2）如圖2，連結(jié)AE．由A、D、E、F四點(diǎn)共圓，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再證明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后將AF=m，DE=kDF代入，計(jì)算即可求解．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．