Question

12．已知多項(xiàng)式x³+ax²+bx+c含有因式x+1和x-1，且被x-2除余數(shù)為3，那么a=-1；b=-1；c=1．

Answer 1

分析 由多項(xiàng)式x³+ax²+bx+c含有因式x+1和x-1可得x³+ax²+bx+c=（x+1）（x-1）（mx+n），分別令x=±1，可得關(guān)于a、b、c的倆方程；再由多項(xiàng)式x³+ax²+bx+c被x-2除余數(shù)為3可得x³+ax²+bx+c=p（x-2）+3，令x=2可得關(guān)于a、b、c的方程，聯(lián)立方程組求解可得．

解答 解：∵多項(xiàng)式x³+ax²+bx+c含有因式x+1和x-1，
∴x³+ax²+bx+c=（x+1）（x-1）（mx+n），
當(dāng)x=1時(shí)，1+a+b+c=0，即a+b+c=-1，
當(dāng)x=-1時(shí)，-1+a-b+c=0，即a-b+c=1，
又∵多項(xiàng)式x³+ax²+bx+c被x-2除余數(shù)為3，
∴x³+ax²+bx+c=p（x-2）+3，
當(dāng)x=2時(shí)，8+4a+2b+c=3，即4a+2b+c=-5，
聯(lián)立可得方程組$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=-1}\\{a-b+c=1}\\{4a+2b+c=-5}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=-1，c=1，
故答案為：-1，-1，1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查因式定理與綜合除法的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握整除帶余的概念．