Question

7．已知：在△ABC中，∠A=90°，D，E分別是AB，AC上任意一點，M，N，P，Q分別是DE，BE，BC，CD的中點，求證：四邊形PQMN是矩形．

Answer 1

分析 由三角形中位線定理得出MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$BD，PN∥CE，PN=$\frac{1}{2}$CE，MQ∥CE，MQ=$\frac{1}{2}$CE，因此PN=MQ，PN∥MQ，資產(chǎn)四邊形PQMN是平行四邊形，再由已知條件得出MN⊥MQ，證出∠NMQ=90°，即可得出四邊形PQMN是矩形．

解答 證明：∵M，N分別是DE，BE的中點，
∴MN是△BDE的中位線，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$BD，
同理：PN∥CE，PN=$\frac{1}{2}$CE，MQ∥CE，MQ=$\frac{1}{2}$CE，
∴PN=MQ，PN∥MQ，
∴四邊形PQMN是平行四邊形，
∵∠A=90°，
∴BA⊥CA，
∵MN∥AB，MQ∥AC，
∴MN⊥MQ，
∴∠NMQ=90°，
∴四邊形PQMN是矩形．

點評 本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定、三角形中位線定理；熟記矩形的判定，由三角形中位線定理證出PN=MQ，PN∥MQ，MN⊥MQ是解決問題的關(guān)鍵．