Question

13．如圖：在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中了），連接EF．
（1）求證：四邊形ABEF為菱形；
（2）AE，BF相交于點(diǎn)O，若BF=6，AB=5，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由尺規(guī)作∠BAF的角平分線(xiàn)的過(guò)程可得，AB=AF，∠BAE=∠FAE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠FAE=∠AEB，然后證明AF=BE，進(jìn)而可得四邊形ABEF為平行四邊形，再由AB=AF可得四邊形ABEF為菱形；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE⊥BF，BO=$\frac{1}{2}$FB=3，AE=2AO，利用勾股定理計(jì)算出AO的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：由尺規(guī)作∠BAF的角平分線(xiàn)的過(guò)程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=FA，
∴四邊形ABEF為平行四邊形，
∵AB=AF，
∴四邊形ABEF為菱形；

（2）解：∵四邊形ABEF為菱形，
∴AE⊥BF，BO=$\frac{1}{2}$FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，AO=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AE=2AO=8．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分．