Question

如圖，從等腰△ABC內(nèi)一點(diǎn)P，向兩腰AB、AC作垂線，垂足分別為D、E，向底邊BC作垂線，垂足為F，若PD+PE=PF．求適合條件的點(diǎn)P的軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡

專題：

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得BC=2BG，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得BG=AB•cos∠B，根據(jù)三角形的面積的和差，可得S_△APB+S_△APC+S_△BPC=S_△ABC，根據(jù)三角形的性質(zhì)，可得PE的長度，可得答案．

解答：解：如圖：

連接AP、BP、CP，作AG⊥BC與G，
由等腰三角形的性質(zhì)，得BC=2BG．
由銳角三角函數(shù)，得
BG=AB•cos∠B，
即BC=2AB•cos∠B．
由三角形的面積，得
S_△APB+S_△APC+S_△BPC=S_△ABC，
即

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE+

1

2

BC•PF=S_△ABC，
由AB=AC，PD+PE=PF，BC=2AB•cos∠B，得
AB•PE（

1

2

+cos∠B）=S_△ABC．
△ABC是固定不變的，得
AB不變，cos∠B不變，S_△ABC不變，
PE的長度數(shù)不變的，
即P點(diǎn)軌跡為直線，平行于BC．

點(diǎn)評：本題考查了軌跡，利用了等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的穩(wěn)定性．