【題目】如圖,拋物線(a≠0)交x軸于A、B兩點,A點坐標為(3,0),與y軸交于點C(0,4),以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G.
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的對稱軸l在邊OA(不包括O、A兩點)上平行移動,分別交x軸于點E,交CD于點F,交AC于點M,交拋物線于點P,若點M的橫坐標為m,請用含m的代數(shù)式表示PM的長;
(3)在(2)的條件下,連結(jié)PC,則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P,使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似?若存在,求出此時m的值,并直接判斷△PCM的形狀;若不存在,請說明理由。
【答案】解:(1)∵拋物線(a≠0)經(jīng)過點A(3,0),點C(0,4),
∴,解得。
∴拋物線的解析式為。
(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
∵A(3,0),點C(0,4),
∴,解得。
∴直線AC的解析式為。
∵點M的橫坐標為m,點M在AC上,
∴M點的坐標為(m,)。
研三理-孟奕含(713000529);∵點P的橫坐標為m,點P在拋物線上,
∴點P的坐標為(m,)。
∴PM=PE-ME=()-()=。
∴PM=(0<m<3)。
(3)在(2)的條件下,連接PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P,使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似。理由如下:
由題意,可得AE=3﹣m,EM=,CF=m,PF==,
若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似,分兩種情況:
①若△PFC∽△AEM,則PF:AE=FC:EM,即():(3-m)=m:(),
∵m≠0且m≠3,∴m=。
∵△PFC∽△AEM,∴∠PCF=∠AME。
∵∠AME=∠CMF,∴∠PCF=∠CMF。
在直角△CMF中,∵∠CMF+∠MCF=90°,∴∠PCF+∠MCF=90°,即∠PCM=90°。
∴△PCM為直角三角形。
②若△CFP∽△AEM,則CF:AE=PF:EM,即m:(3-m)=():(),
∵m≠0且m≠3,∴m=1。
∵△CFP∽△AEM,∴∠CPF=∠AME。
∵∠AME=∠CMF,∴∠CPF=∠CMF。∴CP=CM。
∴△PCM為等腰三角形。
綜上所述,存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似.此時m的值為或1,△PCM為直角三角形或等腰三角形。
【解析】(1)將A(3,0),C(0,4)代入,運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。
(2)先根據(jù)A、C的坐標,用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,從而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點P、點M的坐標,即可得到PM的長。
(3)由于∠PFC和∠AEM都是直角,F(xiàn)和E對應(yīng),則若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似時,分兩種情況進行討論:①△PFC∽△AEM,②△CFP∽△AEM;可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式,求出m的值,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì),直角三角形、等腰三角形的判定判斷出△PCM的形狀。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校開展拓展課程展示活動,需要制作A,B兩種型號的宣傳廣告共20個,已知A,B兩種廣告牌的單價分別為40元,70元
(1)若根據(jù)活動需要,A種廣告牌數(shù)量與B種廣告牌數(shù)量之比為3:2,需要多少費用?
(2)若需制作A,B兩種型號的宣傳廣告牌,其中B種型號不少于5個,制作總費用不超過1000元,則有幾種制作方案?每一種制作方案的費用分別是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(問題提出)|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少?
(閱讀理解)
為了解決這個問題,我們先從最簡單的情況入手.|a|的幾何意義是a這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離.那么|a﹣1|可以看做a這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1的距離;|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1和2兩個點的距離之和.下面我們結(jié)合數(shù)軸研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值.
我們先看a表示的點可能的3種情況,如圖所示:
(1)如圖①,a在1的左邊,從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1.
(2)如圖②,a在1和2之間(包括在1,2上),可以看出a到1和2的距離之和等于1.
(3)如圖③,a在2的右邊,從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1.
(問題解決)
(1)|a﹣2|+|a﹣5|的幾何意義是 .請你結(jié)合數(shù)軸探究:|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是 .
(2)|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的幾何意義是 .請你結(jié)合數(shù)軸探究:|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是 ,并在圖④的數(shù)軸上描出得到最小值時a所在的位置,由此可以得出a為 .
(3)求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值.
(4)求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值.
(拓展應(yīng)用)
請在圖⑤的數(shù)軸上表示出a,使它到2,5的距離之和小于4,并直接寫出a的范圍.
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【題目】如圖所示,半圓O的直徑AB=4,=,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,連接CD,DB,OD.
(1)求證:△CDF≌△BDE;
(2)當AD= 時,四邊形AODC是菱形;
(3)當AD= 時,四邊形AEDF是正方形.
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【題目】在一只不透明的盒子里有背面完全相同,正面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4的四張卡片,小馬從中隨機地抽取一張,把卡片上的數(shù)字作為被減數(shù);在另一只不透明的盒子里將形狀、大小完全相同,分別標有數(shù)字1、2、3的三個小球混合后,小虎從中隨機地抽取一個,把小球上的數(shù)字做為減數(shù),然后計算出這兩個數(shù)的差.
(1)請你用畫樹狀圖或列表的方法,求這兩數(shù)差為0的概率;
(2)小馬與小虎做游戲,規(guī)則是:若這兩數(shù)的差為非正數(shù),則小馬贏;否則小虎贏.你認為該游戲公平嗎?請說明理由.
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【題目】下面是“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:⊙O和⊙O上一點P.
求作:⊙O的切線MN,使MN經(jīng)過點P.
作法:如圖,
(1)作射線OP;
(2)以點P為圓心,小于OP的長為半徑作弧交射線OP于A,B兩點;
(3)分別以點A,B為圓心,以大于長為半徑作弧,兩弧交于M,N兩點;
(4)作直線MN.則MN就是所求作的⊙O的切線.
請回答:該尺規(guī)作圖的依據(jù)是____________________________________________________________.
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【題目】如圖1,點和矩形的邊都在直線上,以點為圓心,以24為半徑作半圓,分別交直線于兩點.已知: ,,矩形自右向左在直線上平移,當點到達點時,矩形停止運動.在平移過程中,設(shè)矩形對角線與半圓的交點為 (點為半圓上遠離點的交點).
(1)如圖2,若與半圓相切,求的值;
(2)如圖3,當與半圓有兩個交點時,求線段的取值范圍;
(3)若線段的長為20,直接寫出此時的值.
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【題目】如圖,Q是上一定點,P是弦AB上一動點,C為AP中點,連接CQ,過點P作交于點D,連接AD,CD.
已知,設(shè)A,P兩點間的距離為,C,D兩點間的距離為.
(當點P與點A重合時,令y的值為1.30)
小榮根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探宄.
下面是小榮的探究過程,請補充完整:
(1)按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量,得到了y與x的幾組對應(yīng)值:
(2)建立平面直角坐標系,描出以補全后的表中各組對應(yīng)值為坐標的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,解決問題:當時,AP的長度約為__________cm.
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