Question

已知，如圖，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．
（1）求證：AECF是菱形；（2）求四邊形AECF的面積．

Answer 1

解：（1）證明：在矩形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
又∠CAE=∠ACE，∠ACF=∠CAF，
∴∠EAC=∠FCA．
∴AE∥CF．
∴四邊形AECF為平行四邊形，
又∠CAE=∠ACE，
∴AE=EC．
∴?AECF為菱形．

（2）設(shè)BE=x，則EC=AE=8-x，
在Rt△ABE中，
AB²+BE²=AE²，
即4²+x²=（8-x）²．
解之得x=3，
所以EC=5，
即S_菱形AECF=EC×AB=5×4=20．
分析：（1）要證明菱形，可以根據(jù)“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”來判定．即先證明平行四邊形，再找一組鄰邊相等即可．
（2）可以利用（1），結(jié)合勾股定理列方程求出菱形的一條邊，即可求出面積．
點(diǎn)評：菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分．另外考查了勾股定理．