Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)P在⊙O外，連接PA交⊙O于點(diǎn)F，連接PC并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接FC、FB，若AC²=AF•AP，AC=4$\sqrt{5}$，CD=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到△ACF∽△ACP，得到∠P=∠ACF，等量代換得到∠P=∠ABF，由AB是⊙O的直徑，得到∠AFB=90°，推出AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理得到CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=8，根據(jù)勾股定理得到AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=8，連接OC，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：∵AC²=AF•AP，
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{AP}{AC}$，
∵∠FAC=∠CAP，
∴△ACF∽△ACP，
∴∠P=∠ACF，
∵∠ACF=∠ABF，
∴∠P=∠ABF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠P+∠PAB=90°，
∴∠AEC=90°，
∴AB⊥CD，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=8，
連接OC，
∴OE=AE-OC=8-OC，
∵OC²=OE²+CE²，即OC²=（8-OC）²+4²，
∴OC=5，
∴⊙O的半徑為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．