Question

4．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論
（3）如果△AEG的面積S_△AEG=2，直接寫出（2）中四邊形ADCF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；
（2）得出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CD=AD，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（3）由AE∥CF且$\frac{AE}{CF}=\frac{1}{2}$可得△AEG∽△CFG，繼而根據(jù)$\frac{{S}_{△AEG}}{{S}_{△CFG}}$=（$\frac{AE}{CF}$）²、$\frac{{S}_{△AEG}}{{S}_{△AFG}}$=$\frac{EG}{FG}$可得S_△CFG=8、S_△AFG=4，即可得答案．

解答 （1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠FEA=∠BED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∴AF=DC．

（2）四邊形ADCF是菱形，
證明：AF∥BC，AF=DC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴平行四邊形ADCF是菱形．

（3）四邊形ADCF的面積為24．
∵四邊形ADCF是平行四邊形，
∴AD∥FC，且AE=$\frac{1}{2}$AD，
∴△AEG∽△CFG，
∴$\frac{EG}{FG}$=$\frac{AE}{CF}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AEG}}{{S}_{△CFG}}$=（$\frac{AE}{CF}$）²=$\frac{1}{4}$，$\frac{{S}_{△AEG}}{{S}_{△AFG}}$=$\frac{EG}{FG}$=$\frac{1}{2}$，
∵S_△AEG=2，
∴S_△CFG=8，S_△AFG=4，
∴S_菱形ADCF=2（S_△CFG+S_△AFG）=24．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的判定、菱形的判定的應(yīng)用及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．