Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是x=﹣1．

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；

②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題

分析：

（1）利用頂點(diǎn)式、待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）①當(dāng)四邊形OMPQ為矩形時(shí)，滿足條件OM=PQ，據(jù)此列一元二次方程求解；

②△AON為等腰三角形時(shí)，可能存在三種情形，需要分類討論，逐一計(jì)算．

解答：

解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）²+k，

∵點(diǎn)A（1，0），B（0，3）在拋物線上，

∴，

解得：a=﹣1，k=4，

∴拋物線的解析式為：y=﹣（x+1）²+4．

（2）①∵四邊形OMPQ為矩形，

∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）²+4，

整理得：t²+5t﹣3=0，

解得t=，由于t=＜0，故舍去，

∴當(dāng)t=秒時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；

②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．

若△AON為等腰三角形，有三種情況：

（I）若ON=AN，如答圖1所示：

過(guò)點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D，則D為OA中點(diǎn)，OD=OA=，

∴t=；

（II）若ON=OA，如答圖2所示：

過(guò)點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D，設(shè)AD=x，則ND=AD•tanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x，

在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD²+ND²=ON²，

即（1﹣x）²+（3x）²=1²，解得x₁=，x₂=0（舍去），

∴x=，OD=1﹣x=，

∴t=；

（III）若OA=AN，如答圖3所示：

過(guò)點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D，設(shè)AD=x，則ND=AD•tanA=3x，

在Rt△AND中，由勾股定理得：ND²+AD²=AN²，

即（x）²+（3x）²=1²，解得x₁=，x₂=﹣（舍去），

∴OD=1﹣x=1﹣，

∴t=1﹣．

綜上所述，當(dāng)t為秒、秒，（1﹣）秒時(shí)，△AON為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．第（2）問(wèn)為運(yùn)動(dòng)型與存在型的綜合性問(wèn)題，注意要弄清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，進(jìn)行分類討論計(jì)算．