Question

12．課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
（1）如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：
延長AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．

感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點為對稱中心的中心對稱圖形或全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．
（2）問題解決：
受到（1）的啟發(fā)，請你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．
①求證：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（3）問題拓展：
如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點作∠EDF為60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （2）①首先延長FD到G，使得DG=DF，進而得出CF=BG，DF=DG，以及EF=EG，再利用三角形三邊關(guān)系得出答案；
②由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，再利用勾股定理得出答案；
（3）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出△DEG≌△DEF（SAS），進而得出EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF，進而得出答案．

解答 （2）證明：①如答題圖1，延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．
則CF=BG，DF=DG，
∵DE⊥DF，∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

解：②若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，
由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE²+BG²=EG²，
∴BE²+CF²=EF²；                  


（3）解：如答題圖2，將△DCF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBG． 
∵∠C+∠ABD=180°，∠4=∠C，
∴∠4+∠ABD=180°，
∴點E、B、G在同一直線上．
∵∠3=∠1，∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=60°，故∠2+∠3=60°，即∠EDG=60°
∴∠EDF=∠EDG=60°，
在△DEG和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{∠EDG=∠EDF}\\{DG=DF}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△DEF（SAS），
∴EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF．

點評 此題主要考查了幾何變換綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確得出△DEG≌△DEF（SAS）是解題關(guān)鍵．