Question

17．已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，連心線O₁O₂交AB于點(diǎn)C，O₁A=$3\sqrt{2}$，O₂A=$2\sqrt{3}$，AB=6．求∠O₁AO₂的度數(shù)．

Answer 1

分析 分兩種情形：①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)C在線段O₁O₂上時(shí)，根據(jù)∠O₁AO₂=∠O₁AC+∠O₂AC即可解決問(wèn)題，②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)C在O₁O₂的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)∠O₁AO₂=∠O₁AC-∠O₂AC即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)C在線段O₁O₂上時(shí)，
∵AB⊥O₁O₂，AC=BC=3，
∴∠ACO₂=∠ACO₁=90°，
∵AO₂=2$\sqrt{3}$，
∴CO₂=$\sqrt{A{{O}_{2}}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AO₂=2CO₂，
∴∠CAO₂=30°，
∵AO₁=3$\sqrt{2}$，AC=3，
∴CO₁=$\sqrt{A{{O}_{1}}^{2}-A{C}^{2}}$=3，
∴AC=CO₁，
∴∠CAO₁=45°，
∴∠O₁AO₂=∠O₁AC+∠O₂AC=45°+30°=75°，
如圖2中，當(dāng)點(diǎn)C在O₁O₂的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∠O₁AO₂=∠O₁AC-∠O₂AC=45°-30°=15°．
∴∠O₁AO₂的度數(shù)為75°或15°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相交兩個(gè)圓的性質(zhì)、直角三角形30度角的判定等腰直角三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，注意有兩個(gè)解，屬于中考�？碱}型．