Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠B＝∠D．若AB＝3cm，BC＝5cm，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止，則從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，△ABP為等腰三角形？

備用圖1

備用圖2 備用圖3

Answer 1

【答案】當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)3、2.5、、10秒時(shí)，△APE是等腰三角形

【解析】

利用AAS先證明△ABC≌△CDA，可得AD=BC，AB=CD；利用勾股定理先求得AC的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)P在CD上，點(diǎn)P在AD上三種情況，結(jié)合等腰三角形的判定和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．

設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t ，

在△ABC和△CDB中，

∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠D，AC=CA，

∴△ABC≌△CDB（AAS），

∴AD=BC，AB=CD，

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC===4．

設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí)，△ABP為等腰三角形．

當(dāng)P在BC上時(shí)，

①BA=BP=3，即t=3時(shí)，△ABP為等腰三角形；

②BP=AP=BC=，即t=時(shí)，△ABP為等腰三角形；

③AB=AP時(shí)，如圖：

過(guò)A作AE⊥BC，垂足為E，AE=，

在Rt△ABE中，BE===．

∴BP=2BE=，

即t=時(shí)，△ABP為等腰三角形；

當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形；

當(dāng)P在AD上時(shí)，只能AB=AP=3，

∴BC+CD+DP=10，即t=10時(shí)，△ABP為等腰三角形．

答：從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)2.5s或3s或s或10s時(shí)，△ABP為等腰三角形．